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The Mandelbrot Set which is constructed by a special fractal formula, discovered by Benoit Mandelbrot, can be displayed with graphic means. Computation and graphic representation of this and other fractal formulas don't happen in our well known experienced space and coordinate system with real numbers but in a world of complex numbers, where each real number contains an imaginary infinite uncountable row of numbers with special characteristics.
The graphic representation
shows the real axis of numbers horizontally. The imaginary axis is shown
vertically. The complex space of numbers is represented by the two axes.
The Julia Set, which has been discovered by the mathematician Gaston Julia, is quite similar to the Mandelbrot Set. But additionally an own Julia Set exists for each number of the complex number space. In the shown picture you may sweep through this complex number space by moving the mouse across the picture.
The further selectable
fractal functions result in swift changes from the original formula of the
Mandelbrot Set. The computation and following representation can be selected
in form of the Mandelbrot Set or the Julia Set. The shown formula contains
the parameter "cm" consisting of the complex initial value of the Mandelbrot
Set or on the other hand of the parameter "cj" for the Julia Set. For better
serviceability the Julia Function changes internally "cm" to "cj".
Each pixel in the
number space is iterated by the selectable precision
and checked whether the formula shows stable or unstable characteristic.
Positioning the mouse on picture 1 will transmit complex coordinates to the
selected fractal function. These coordinates max be used for zooming and
fixing the parameters of the chosen formula.
After starting the Mandelbrotgenerator the main control panel is activated. Here you will find an area (picture 1) with a small representation of the choosen fractal function, a 2. area (picture 2) where a stereo picture may be generated and several buttons and select menus for controlling the generation process.
With drag&drop-function of the mouse you may drag a rectangle in picture 1 which will be zoomed after exiting picture 1 with the mouse.
Sorry - still under construction
By selection of precision you will control the precision of the itreration
process for each pixel:
Black pixels represent a stable characteristic of the function for the selected number of precision. Colored pixels show a chaotic characteristic. Higher values for precision will lead to a better test for each pixel. This will result in sharper shapes and longer computing times.After selection of a value for precision pressing the precision-button will produce a new graphic in picture 1.After several magnifications the border between stable (black) and chaotic (colored) areas the selection of different precision values will show greater effects and pixels which had been stable with lower precision values may change into chaotic pixels.
Changing the precision value will also lead into a new assignment of colors to the chaotic representation. This process will show sharper results near the border between stable and chaotic areas.
Ausschnittsvergrößerungen können mit der Maus innerhalb
der Zeichenfläche gewählt werden:
1. linke untere Ecke eines zu vergrößernden Gebietes mit dem Mauszeiger anfahrenWenn Sie diese Schritte nicht korrekt befolgt haben, erhalten Sie eine Fehlermeldung in der Statuszeile Ihres Browsers.
2. linke Maustaste drücken und festhalten
3. rechte obere Ecke des zu vergrößernden Gebietes mit gedrückter Maustaste anfahren
4. Maustaste loslassen und Mauszeiger außerhalb der Zeichenfläche positionieren
Vergößerungen können mehrfach hintereinander ausgeführt
werden. Wenn ab einer bestimmten Vergößerung die arithmetische
Genauigkeit der internen Zahldarstellung nicht mehr ausreicht, bricht das
Bild meistens einfarbig oder mit Streifen zusammen.
Mit dem RESET-Button kann das Anfangsbild wiederhergestellt werden, falls
z.B. die maximale Vergrößerung überschritten wurde.
Nach Auswahl einer Stereografiestärke kann mit dem STEREO-Button auf der Zeichenfläche 2 eine versetzte Ansicht des vorher auf Zeichenfläche 1 produzierten Bildes erzeugt werden. Der Versatz wird derart berechnet, dass bei geeigneter Betrachtung ein echt dreidimensionales Bild im Geist abgebildet wird.
Für die dreidimensionale Betrachtung ist etwas Übung erforderlich:
Am Anfang ist diese Betrachtungsweise sehr anstrengend, weil die Augenmuskulatur entgegen jeder natürlichen Erfahrung betätigt werden muss. Mit zunehmender Übung gelingt es immer leichter, diese dreidimensionalen Bilder im Geist zu erzeugen. Diese Betrachtungsweise erfolgt auf eigenes Risiko. Die Gefahr von Kopfschmerzen ist beim Ungeübten groß. Ob auch andere gesundheitliche Riskien bestehen, ist mir nicht bekannt.
- Beide Bilder müssen gut sichtbar im Browserfenster nebeneinander erkennbar sein. Für den Anfänger ist es einfacher, das Browserfenster zu verkleinern und den Bildauschnitt so zu wählen, dass beide Bilder direkt nebeneinander liegen.
- Man sollte in einem Abstand zwischen 50 und 100 cm vor dem Bildschirm direkt auf den Mittelpunkt zwischen den beiden Bildern schauen, wobei beide Augen geöffnet sein müssen.
- Die Entfernungseinstellung der Augen muss derart angepasst werden, dass beide Bilder zu einem verschmelzen. Hierbei entstehen vor dem geistigen Auge insgesamt 3 Abbilder, wobei man sich nur auf das mittlere Abbild konzentrieren darf. Wer wenig Übung hat, kann zur Hilfe eine Bleistiftspitze verwenden, die man zwischen die beiden Bilder vor dem Browser hält und nun langsam Richtung Nasenwurzel bewegt, bis das mittlere Abbild entsteht. Wenn mehr als 3 Abbilder zu sehen sind, hat man die richtige Einstellung noch nicht gefunden.
- Sofern es nicht automatisch gelingt, muss jetzt noch die Scharfeinstellung der Augen für das mittlere Abbild erfolgen, ohne dass sich die vorher gefundene Entfernungseinstellung verändert.
- Wenn alle Augeneinstellungen gelungen sind, entsteht vor dem geistigen Auge ein echtes dreidimensionales Bild.
Der 3D-Effekt bei den Bildern wird erzeugt, indem für verschiedene
Farbgruppen die Position für einen vorgegebenen Abstand auf der 2. Zeichenfläche
eingetragen werden, so dass das Gehirn einen echten dreidimensionalen Eindruck
erhält, wenn die Augen entsprechend eingestellt sind.
Mit den Zahlenangaben wird die Stärke der Stereoprojektion eingestellt.
Große Zahlen bewirken größere Effekte, die aber älteren
Personen möglicherweise schwerer fallen. Negative Zahlen bewirken, dass
schwarze Flächen oben liegen und die restlichen Farben unten. Bei den
meisten Bildausschnitten ist die Wirksamkeit dieses Effektes stärker
als bei positiven Zahlen, wo die schwarzen Flächen unten, hinter den
Farben liegen.