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Strukturen in Julia- und Fatou-Mengen

Fatou- und Julia-Mengen werden über die oben angezeigten Funktionen durch Iteration an jedem Bildpunkt (Pixel)  ermittelt. Die Ergebnisse der Iterationen konvergieren entweder zu einem stabilen Zahlenwert oder divergieren ins Unendliche. Die Grenze zwischen diesen beiden Zonen wird den Julia-Mengen zugeordnet. Diejenigen Gebiete mit konvergierenden Werten, die nicht eine zusammenhängende Fläche bilden werden als Cantor-Menge bezeichnet. Zerteilen sich die CantorMengen zunehmend in unbegrenzt viele Einzelgebilde, werden diese Strukturen als Fatou-Staub bezeichnet. Als Julia-Fläche werden hier diejenigen Gebiete mit konvergierenden Werten bezeichnet, die von der Julia-Menge umschlossen werden. Die Julia-Menge selbst zeigt sich daher im Grenzgebiet zwischen den konvergierenden und divergierenden Werten. In den Grafiken werden die konvergierenden und divergierenden Werte durch unterschiedliche Farben dargestellt, so dass sich die Grenzgebiete erkennen lassen. Weiteres zur Erzeugung der Grafiken siehe unter dem Menüpunkt "Fraktale".

Auf dieser Seite liegt der Schwerpunkt bei der Darstellung in den Strukturen der Fatou-Mengen, der Julia-Flächen sowie deren Grenzgebieten. Zur besseren Vergleichbarkeit der Eigenschaften der Julia-Mengen sind auf den Videos dieser Seite überall 50 Iterationsschritte verwendet worden sofern nicht anders erwähnt.

Gebiete mit konvergierenden Werten werden hier mit Blautönen sowie blassgelb dargestellt. Diese Farbflächen stellen diejenigen Gebiete dar, bei denen die angewandte Formel bei einer vorgegebenen Zahl von Iterationsschritten stabile Werte ergibt und die somit Teil der Julia-Fläche sind. Im Grenzgebiet zu den Julia-Mengen findet man teilweise blassgelb aber auch kräftig blau gefärbte Gebiete, die anzeigen, dass diese Gebiete bei weiteren Iterationsschritten instabil würden. Erst nach einer Grenzwertbildung mit ins Unendliche gehenden Iterationen könnte man eine eindeutige Abgrenzung zwischen der Julia-Menge und konvergierenden und divergierenden Werten feststellen. Gebiete mit divergierenden Werten, deren Werte ins Unendliche wachsen, werden mit rötlichen und gelblichen Farbtönen dargestellt.

Die folgenden 2 Bilder zeigen, wie sich die scheinbare Grenze der Julia-Menge innerhalb von 5 Iterationsschritten verschiebt (von 48 auf 53, wobei die konstanten Terme der Formel "c" hier nicht variiert wurden). Der Bildausschnitt ist bei beiden Bildern identisch. Der scheinbare Grenzbereich der Julia-Menge zwischen divergierenden und konvegierenden Werten wird durch die blass-gelben und gelblich-grauen Gebiete sowie die hell-blauen Gebiete angezeigt, wobei einige der blauen Streifen tief in das divergierende Gebiet hineinreichen, womit sich das Grenzgebiet als sehr dynamisch erweist. Die 2 Bilder zeigen die Verschiebung des Grenzbereichs der Julia-Menge. Selbst einige der tief-blauen, scheinbar stabilen Gebiete erweisen sich bei weitergehender Iteration als instabil. Im rechten oberen Quadranten sieht man im Vergleich der beiden Bilder, wie sich der Grenzverlauf zwischen konvergierenden und divergierenden Gebieten langsam zu stabilisieren scheint.

Das Anwachsen von Zahlenwerten ins Unendliche wird hier mit gelben und rötlichen Signaturen dargestellt. Anders als bei den Fraktalen, die auf den vorhergehenden Seiten dargestellt sind, wo die Farbgebung anzeigt, bei welchem Iterationsschritt ein Wert ins Unendliche abgleitet, wird hier dagegen dargestellt, mit welcher Intensität die Zahlenwerte am jeweiligen Ort des Pixels Richtung Unendlich wandern. Dabei nimmt die Geschwindigkeit von schwarz-rot über rot über schwarz-gelb nach gelb hin zu. Die Intensität entspricht dabei einem  Geschwindigkeitsvektor, der hier  im jeweiligen Pixel als punktförmiger Farbwert dargestellt wird.

Die unterschiedliche Darstellung der Fatou- und Julia-Mengen mit ihren Intensitätswerten gegenüber der herkömmlichen Darstellung als Äquipotenzialflächen mit dem Zeitpunkt (Iterationsschritt), ab dem das Abgleiten in die Unendlichkeit beginnt, führen teilweise zu unterschiedlichen Kartierergebnissen, wie die beiden folgenden Bilder, die dasselbe Gebiet mit diesen 2 unterschiedlichen Darstellungsarten nach jeweils 50 Iterationen zeigen.


Einige Strukturen im oberen Bild mit Farben, die anzeigen, bei welcher Iterationstiefe Werte ins Unendliche abgleiten, weichen von den Geschwindigkeitsvektoren des unteren Bildes ab. Diese Strukturen sind im unteren Bild nicht sichtbar, während dagegen nun andere Detailinformationen im unteren Bild erkennbar werden.

In den Videos werden neben Vergrößerungen und Verkleinerungen auch Veränderungen der Gestalt der Julia- und Fatou-Mengen in Form von Bewegungen sichtbar. Dies beruht darauf, dass der eigentlich konstante Term "c" in den Formeln einer zeitabhängigen Variation c(t) unterworfen wird. Dabei kommt es in den Videos bisweilen zu plötzlichen Veränderungen der Gestalt oder der Farben. Wenn man diejenigen Ereignisse ausschließt, die als Folge von Beschränkungen des gewählten Farbraums entstehen, wäre für den Rest durch Grenzwertuntersuchungen zu ermitteln, ob diese plötzlichen Veränderungen durch das relativ grobe Raster der Pixel und durch den begrenzten Zahlenraum der zur Berechnung verwendeten Gleitkommazahlen bedingt sind oder ob die Veränderung der Konstanten zu Unstetigkeitsstellen bei den Formeln führt. Als Beispiel für eine mögliche Unstetigkeit kann der Beginn der Videosequenz des 2. Videos angesehen werden. Bei den beiden folgenden Bildern wurde lediglich der Realteil des eigentlich konstanten Terms "c" ausgehend vom Wert 0 um den Wert 0.1E-66 erhöht, was bereits zu einer massiven Veränderung in dem undefinierten schwarzen Bereich führt, so dass ich vermute, dass bei der Formel (z³ +c)/z, die hier allen folgenden Bildern zugrunde liegt, jede Änderung von "c" gegenüber 0 zu einem unstetigen Sprung führt, was man mit Hilfe einer Kurvendiskussion wohl auch nachweisen könnte. Das schwarze Zentralgebiet zeigt diejenige Zone, bei der die Julia-Fläche als Folge einer Nulldivision sofort ins Unendliche wächst, während die blauen Gebiete im unteren Bild stabile Zonen darstellen.

Bei einer nahezu 10 Mrd.-fachen Vergrößerung des zentralen Kerns im letzten Bild treten selbstähnliche Formen mit neuen Strukturen auf. Siehe die folgenden 2 Bilder.


Die Lücke zwischen den beiden tiefblauen Zonen schließt sich langsam, wenn man tiefer iteriert. Das folgende Bild zeigt eine Ausschnittsvergrößerung der Lücke bei einer Vergrößerung um ca. 2,5²³ nach 4000 Iterationen.


Die kleinen Pünktchen, die sich mit tiefer gehender Iteration der tief-blauen Fläche oben links wie in einer Linie mit dem Grenzwert 0 nähern, zeigen selbst erneut fraktale Strukturen (siehe folgendes Bild). Was hat das für Konsequenzen im Hinblick auf die Julia-Fläche? Hell- und dunkelblaue Flächen liefern bei den Iterationen stabile Werte, bei der hier lediglich die Intensität der Veränderlichkeit dargestellt wird. Die Werte der hellblauen und dunkelblauen Flächen sind nur marginal von 0 (z.B. weniger als 10^-44) verschieden. Die Intensitätsvektoren unterscheiden sich lediglich durch ihr Vorzeichen. Auf jeden Fall aber erinnern mich die Formen an von oben betrachtete Wasserflöhe (Daphnia).


Noch ein Hinweis zu den blass-gelben Gebieten (wie in Bild 1 und 2) und zur Berechnung der Intensitätswerte. Für die Berechnung, ob bei einem Iterationsschritt die Zahlenwerte am Ort des Pixels ins Unendliche ausreißen, wird eine Art von Abstandswert der komplexen Zahl zum Ursprung ermittelt. Eigentlich sind Abstandswerte immer positiv oder null. Wenn man aber anstelle der Beträge der Komponenten unzulässigerweise auch die Vorzeichen für die Abstandsberechnung auf eine unscharfe Weise (fuzzy) berücksichtigt, können in einigen Fällen "negative Abstandswerte" oder ungültige 0-Werte auftreten, die in den Bildern blass-gelb dargestellt werden. Große negative Abstandswerte werden in reinem blau dargestellt (das ist bisweilen optisch schwer von den restlichen Blautönen zu unterscheiden). Auch die auf diese Weise ermittelten positiven Abstandswerte weichen von den realen Abstandswerten ab. Das Wort Abstand passt dann nicht mehr ganz; man könnte es Fuzzy-Abstand nennen. Aber unabhängig davon stellt sich die Frage, ob negative Abstände in unserer als real empfundenen Welt überhaupt auftreten können.

Der Physiker Brian Greene (Der Stoff, aus dem der Kosmos ist) zeigt auf, dass in Raumeinheiten unterhalb der Planck-Länge die herkömmlichen Zeit- und Raumbegriffe keine Gültigkeit mehr besitzen, sondern durch eine Welt der Quantenfluktuationen abgelöst werden, bei der Raum und Zeit nach Vorstellungen mehrerer Physiker (z.B. John Archibald Wheeler) in extrem kleinen Größenordnungen der Planck-Skala durchaus negativ aber auch zyklisch oder noch anderen Strukturen verlaufen könnten. Es ist sicherlich nur ein Zufall, aber die ersten beiden Bilder auf dieser Seite weisen eine Ähnlichkeit mit einer Darstellung von Brian Greene auf, in der er schematisch auf der Ebene des Papiers (2 Dimensionen) die Entstehung neuer und paralleler Universen über den von Astrophysikern vermuteten Mechanismus der wiederholten Inflation zeigt, wobei allerdings Raumdimensionen nur beschränkt dargestellt werden können. Allenfalls  denkbar wäre, dass die Prinzipien der Bildung von Universen jedoch eine gewisse Beziehung zur Selbstähnlichkeit von Fraktalen aufweisen. Aber selbst der Mechanismus der Inflation ist in der Wissenschaft noch umstritten. Alternative Theorien wie z.B. von Roger Penrose (Zyklen der Zeit) sehen eine sogenannte konforme zyklische Kosmologie CCC auf Basis der Quantengravitation vor, bei der die Zunahme der Entropie Berücksichtigung  findet. Oder aber beispielsweise eine Theorie von Lee Smolin (Warum gibt es die Welt?), die eine auf Vererbung beruhende Entstehung von Weltzeitaltern aus Singularitäten in Schwarzen Löchern beschreibt. Erstaunlicherweise besitzt seine Grafik über die Weltzeitalter ebenfalls Ähnlichkeiten mit den obersten 2 Bildern.

Fuzzy-Abstand

(Ergänzung vom 23.08.2018)>

Bei der Mandelbrotmenge gilt, dass ein Punkt dann zur Mandelbrotmenge gehört, wenn die Iterationsfolge aus der Formel z_n+1 = z_n² + 1 einen beschränkten Grenzwert lim sup <= 2 für n--> unendlich liefert. Für Julia-Mengen wird hier ebenfalls als Grenzwert für den aus der jeweiligen Formel berechneten Wert z_n eine Zuordnung als Punkt einer Julia-Fläche vorgenommen, wenn Betrag |(z_n)| <= 2. 

Im Gegensatz zu einer unendlichen Iterationsfolge wird bei den Berechnungen hier als Folge der Endlichkeit der Ressourcen des Computers bereits nach einer geringen Zahl von Iterationsschritten die Berechnung abgebrochen, was zu Verfälschungen führen kann. Die Bilder 1 und 2 zeigen deutlich den Unterschied der Grenzregion der Julia-Menge nach 48 beziehungsweise nach 53 Iterationen als Folge der Unschärfe bzw. Unganauigkeit durch die geringe Anzahl von Iterationen.

Für die Berechnung eines euklidischen Abstandswertes zu dem lim sup auf einer 2-dimensionalen Ebene wird üblicherweise die Formel entsprechend des Satzes von Pythagoras verwendet: SQRT( (x₁-x₂)² +(y₁-y₂ )² ), die immer Werte  >= 0 liefert (SQRT := Quadratwurzel). Bei den Darstellungen strukturierter Julia-Flächen (in verschiedenen Blautönen) wird hier dagegen nicht diese herkömmliche Abstandsberechnung angewandt, sondern lediglich die unzulässige Addition des Realteils mit dem Imaginärteil des bei der Iteration zuletzt ermittelten Wertes durchgeführt. Dies entspricht der Vorgehensweise zur Abstandsberechnung ähnlich wie bei einer Manhattan-Metrik, bei der hier jedoch keine Absolutbeträge verwendet werden. Der Raum der Metrik wird dabei durch den endlichen Gleitkommazahlenraum des Computers aufgespannt.

Bei einigen Berechnungsfolgen wie beispielsweise (z³+c)/z können für den Realteil oder Imaginärteil negative Werte entstehen, die dann bei ihrer direkten Addition auch einen negativen Gesamtwert ergeben können. Die Addition von Realteil und Imaginärteil ist für die Berechnung eines Abstandswertes eigentlich unzulässig, da die Ergebnisse dieser Abstandsberechnung gegenüber dem Satz des Pythagoras recht ungenau sind und auch zu negativen Abstandswerten führen können, die üblicherweise verboten sind. Allerdings können als Folge dieser unscharfen Berechnung (hier Fuzzy-Abstand genannt) neue selbstähnliche fraktale Strukturen (siehe Bilder 6-10 und auch unter Menüpunkt "Daphnia") innerhalb der Julia-Fläche sichtbar werden, die sich durch ihr positives und negatives Vorzeichen unterscheiden (hell- und dunkelblau).  Veränderungen der Iterationstiefe führen darüber hinaus zu Oszillationen dieser virtuellen Strukturen (siehe Menüpunkt "Daphnia").

Möglicherweise werden diese virtuellen Strukturen durch Ungenauigkeiten der Gleitkommaoperationen und der Begrenztheit des Körpers der Gleitkommazahlen hervorgerufen. Dieser Zahlenkörper bei Java nutzt  bei 8 Byte 15 signifikante Stellen in einem Wertebereich von +/-4.9E-324 ... +/-1.7E+308. Die innerhalb der Julia-Fläche hervorgerufenen fraktalen Strukturen können aber nicht allein durch diese Einschränkungen entstehen, sondern müssen außerdem von dem hyperbolischen Term der Formel (z³+c)/z abhängen, da bei anderen Formeln diese Fraktale nicht gebildet werden.


Hinweis: Der hier verwendete Begriff Fuzzy-Abstand stimmt nicht mit dem in der Mathematik von Josef Bednár verwendeten Begriff fuzzy distance bzw. den von J.G. Dijkman u.a.definierten fuzzy numbers überein.

Ein Beispiel für den Unterschied zwischen herkömmlichen Äquipotenzialflächen und Intensitätswerten mit dem fuzzy-Abstand innerhalb der Juliafläche zeigen die folgenden 2 Bilder bei c(t)=(-0.001 RE, -0.00001 IM) in einem Koordinatenfenster von ca. (-1.03 RE, -0.19 IM) links oben und (-0.79 RE, 0.04 IM) rechts unten .

Bild 10: Beispiel Äquipotenzialflächen

Bild 11: Intensitätstwerte im Vergleich zu Bild 10

Fortsetzung bei Daphnia
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