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Hyperbolische Julia-Funktion ( z³ + c ) / z

Neben der bisher betrachteten einfachen Julia-Funktion z² + c mit ihrem aus Sinus und Cosinus bestehenden Kern existieren zahlreiche andere fraktale Funktionen mit Julia-Mengen und Julia-Flächen mit anderen Wellenformationen. Im Folgenden wird beispielhaft eine hyperbolische Welle verwendet, die abhängig von ihrem Parameter c teilweise konvergierende Werte und ebenfalls Oszillationen aufweist. Bei geeigneten Werten für den Parameter c (hier c = ( 0.016, 0i ) ist die Grundstruktur der Julia-Fläche ähnlich kreisförmig wie bei der bisher gezeigten einfachen Julia-Funktion mit ihrer Kreisstruktur bei c = ( 0, 0i ). Erhebliche Unterschiede bestehen allerdings bei anderen Parametrierungen.

Das erste Bild gibt eine Darstellung wieder, bei der die iterativen Ergebnisse anzeigen, ob eine Konvergenz bis zum Ende des Iterationsprozesses erzielt wurde.

Das mittlere Bild zeigt, ob die konvergierenden Werte positive oder negative Ergebnisse aufweist. Hierzu wird für jeden Bildpunkt mit der zugehörigen berechneten komplexen Zahl nach Ende der Iteration eine grobe Fuzzy-Abstandsberechnung durchgeführt. In Anlehnung an eine Manhattan-Metrik werden der reelle und der komplexe Wert ohne Absolutbeträge zu einem Längenmaß addiert, bei dem auch negative Streckenlängen bei negativem Realteil oder Imaginärteil zugelassen werden. Diese Rechenoperation ist für Abstandsberechnungen der ebenen Geometrie (Planimetrie) eigentlich unzulässig, führt aber bei Rasterfeldern (Manhattan-Raster) zu Ergebnissen der Streckenlängen der Rasterlinien, wobei negative Streckenlängen eine entgegengesetzte Richtung wie bei einer Himmelsrichtung anzeigen. Da hier keine Absolutbeträge und kein Abstandsmaß für ebene Flächen verwendet wurde, können bei einigen Julia-Funktionen Strukturen im Innern der Julia-Fläche sichtbar werden, die bei anderen Darstellungsarten nicht sichtbar sind (Beispiele siehe weiter unten).

Das letzte Bild zeigt die zugehörigen Wahrscheinlichkeitsdichten; für den zentralen Kreis folgen Ausschnittsvergrößerungen (siehe unten).
(Legende siehe beim Aufruf der Vergrößerungen)

Da bisher noch nicht ausreichend geklärt ist, wie sich makroskopische symmetrische Kristallformen wie bei Schneeflocken aus einzelnen Molekülen bilden können (Quelle: Sven Titz), wird nun hier die Spekulation geäußert, dass hyperbolische Wellen mit bestimmten Parametern die Bildung derartiger Kristalle in den Möglichkeitsfeldern steuern. In den zugehörigen Spiegelfeldern mit ihren gespiegelten Beobachtungswellen könnte dann der Bildungsprozess beispielsweise einer Schneeflocke nach jeder Verbindung eines Wassermoleküls mit dem sich in Bildung befindlichen Kristall zu einem Zusammenbruch der Möglichkeitswelle im Möglichkeitsfeld führen, wobei anschließend der letzte Iterationsschritt um einen bestimmten Betrag reduziert wird und für die nächste Kristalllage erneut losläuft. Die Positionen der sich verbindenden Eiskristalle würde dann durch die kristallähnliche Struktur der Wahrscheinlichkeitswelle herbeigeführt. Sofern es zu einer Rückkopplung einer Beobachterwelle zu der Möglichkeitswelle kommt, die den Parameter c minimal verändert, können sich unterschiedliche Kristallstrukturen, wie man sie bei Schneeflocken beobachten kann, bilden. Soweit die Spekulation.

Ausschnittsvergrößerungen des Zentralbereichs der hyperbolischen Julia-Funktion ( z³ + c ) / z

Bei den Ausschnittsvergrößerungen zeigt sich die fraktale Struktur dieser hyperbolischen Funktion.

Die letzte Grafik dieser Reihe zeigt eine weitergehende Ausschnittsvergrößerung mit Wahrscheinlichkeitsdichten aus dem Randgebiet des zentralen Bereichs der vorherigen Grafik.

Oszillationen der hyperbolischen Julia-Funktion ( z³ + c ) / z

Bei der Darstellung von Fuzzy-Abstandswerten können sich bei geeigneter Wahl des Parameters c verschachtelte Oszillationen mit unterschiedlichen Strukturen zeigen. Bei den anderen Darstellungsarten (mit Wahrscheinlichkeitsdichten oder Stand des letzten Iterationsschritts) sind diese neuen hier sichtbaren Strukturen nicht sichtbar, da sowohl das Ende des letzten Iterationsschrittes ohne Divergenz erreicht wurde als auch die Fuzzy-Abstände nahezu vollständig bei 0 liegen.

Als Folge des hyperbolischen Terms in der Funktion ergeben sich bei verschiedenen Parametern c äußerst unterschiedliche Strukturen. Trotz der Unschärfe der Fuzzy-Werte ist aber die Abgrenzung der Grundstruktur nahezu identisch mit den anderen Darstellungsarten.

Erstaunlich ist, dass bei der Darstellung der Fuzzy-Werte innerhalb der Julia-Fläche erneut Gebilde mit fraktalen Strukturen auftreten (siehe die letzten 3 Grafiken).

Bei dem hier gewählten Parameter c mit (0., 1E-50i) bildet sich eine fast perfekte Kreisstruktur ähnlich wie bei der Julia-Funktion z²+c (siehe 1. Grafik).
Hinweis: 1E-50i entspricht einem imaginären Gleitkommawert analog zu 10^-50 also fast 0

Da sich bei diesen Grafiken mit Einzelbildern die Oszillationen und auch die fraktalen Substrukturen nur schwer erkennen lassen, werden im Folgenden 2 kurze Videos bereitgestellt, mit denen sich diese Formationen besser verfolgen lassen.

Überlagerung von Oszillationen

Bei dem folgenden Video wird der oben in Einzelbildern gezeigte Prozess der Bildung innerer fraktaler Strukturen und Oszillationen durch eine Aneinanderreihung vieler einzelner Grafiken als Bewegung sichtbar. Das Video beginnt mit einem Übersichtsbild, wobei lediglich das kleine zentrale Kreisgebiet den konvergierenden Zonen der Julia-Menge entspricht.

Der Start erfolgte mit c=(0.1,0i). Änderungen bei c werden in diesem Video ausschließlich bei dem Realteil von c vorgenommen. Während der ersten 6 Sekunden wird in mehreren Stufen c reduziert auf ~(1E-70,0i). Innerhalb der einzelnen Stufen erfolgt eine lineare Reduzierung. Wegen der extremen kleinen Bandbreite von 0.1 bis 1E-70 scheint zwischen den Stufen jedes Mal ein Sprung stattzufinden; dieser beruht allerdings auf der sprunghaften Änderung des Maßstabs der Bandbreite. (Moiree-Effekte beruhen auf dem Bildschirmraster)

Ab Sekunde 20 wird c nicht weiter verändert. Stattdessen erfolgen nun Veränderungen der Iterationstiefe und gleichzeitig ein Zoom auf den "Nordpol" der Grafik bis Sekunde 35. Bis Sekunde 41 erfolgt dann ein weiterer Zoom auf ein Gebiet unterhalb des "Nordpols", bei dem sich die oszillierenden Strukturen wie bei den letzten 3 Grafiken oben zeigen. Bis Sekunde 44 wird in ein weiteres Teilgebiet zunächst ohne Änderung der Iterationstiefe hinein gezoomt. Bis Sekunde 56 werden nun die Iterationsschritte variabel angehoben und gesenkt ähnlich wie bei einer Dreieckskurve. Den Abschluss der Videosequenz bildet eine Art "Landung" in dem nun zentral erscheinenden Gebiet mit divergierenden Werten.

In der Videosequenz zeigen sich als Oszillationen mehrere gegenläufige Rotationen, bei denen die jeweiligen zugehörigen Fuzzy-Abstände ihr Vorzeichen (schwarz bzw. weiß) wechseln. Die farbige Struktur mit den divergierenden Werten, die an vielen "Kristallisationspunkten" bei starken Vergrößerungen sichtbar werden, bleibt dagegen unverändert.

Das Video wurde 2019 im Rahmen eines Video Art Projekts aufgenommen.

Eine virtuelle Reise durch (z³+c)/z

(0:58 min)
Start Video 1

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Ein Ziel von Ralf Otte besteht darin, in den Möglichkeitsfeldern ausgehend von einer Einflussnahme durch Beobachtungsfelder Veränderungen bei den fraktalen Schwingungen der Julia-Mengen vorzunehmen, um damit Speicherzustände zu erzielen, die ihrerseits über einen Kollaps des Möglichkeitsfeldes auch einer Beobachtung zugänglich sind. Da in den Beispielen hier lediglich 1-dimensionale komplexe Funktionen mit ihrem 2-dimensional erscheinenden imaginären Werten dargestellt werden können, lässt sich dieser Prozess grafisch hier nicht darstellen. Bei der von Ralf Otte gewählten Algebra kommt es zu Rechenoperationen mit bikomplexen Zahlen, die für ihre grafische Darstellung bereits 4 Dimensionen erfordern.

Daher ist davon auszugehen, dass die hier durchgeführte Art von Oszillationen nicht ausreicht, um die von Ralf Otte gewünschten Überlagerungen von Schwingungen nutzbar zu machen. Mit seiner Algebra versucht Ralf Otte, Superwellenfunktionen aus den Möglichkeitsfeldern und Beobachtungsfeldern über bikomplexe Additionen und Multiplikationen zu erzielen, die in diesem Beispiel nicht vorkommen. Ralf Otte versucht, entsprechende Speicherungen durch Beeinflussung von Spins zu bewirken. Allerdings bilden bei dem Verhalten der Funktion hier - angezeigt durch die schwarz/weißen Strukturen - binäre Werte. Ob diese in dieser Form für Speicherzwecke ausreichend wären, ist vermutlich unwahrscheinlich. Die hier verwendeten Fuzzy-Abstandswerte repräsentieren reelle Zahlen, die über die Begrenzung dualer Werte hinausgehen. Daher wird in einem weiteren Video das Ergebnis dieser reellen Fuzzy-Abstandswerte dargestellt.

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