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Julia-Funktionen mit Oszillationen

Abhängig von der Wahl des Startwertes c kommt es bei einigen Julia-Funktionen zu Oszillationen, die bei der Inkrementierung der Iterationsschritte auftreten. In den Beispielen hier wurde bei der Julia-Funktion z² + c der Startwert c auf (1.385, 0i) gesetzt. Der Vergleich der Grafiken bei Iterationen von 20, 30, 31, 32 zeigt die Veränderung der Wahrscheinlichkeitsdichte, die mit nur geringen Veränderungen der eigentlichen Julia-Menge einhergehen, d.h. die Grenzlinie zwischen konvergierenden Werten (weiß-rot-schwarz) und divergierenden Werten (Grüntöne).

Ralf Otte sieht hier die Herausbildung vorbewusster/unbewusster geistiger Vorgänge, bei denen die Gedanken/Wahrnehmungen alternieren, wie beispielsweise bei einer Bildbetrachtung, bei der verschiedene alternierende Attraktoren auftreten, bis sich ein bewusster Zustand im Geist einstellt. Die Oszillation selbst interpretiert er als einen instabilen Prozess mit einem binokularen Zustand, wie er auch bei optischen Täuschungen bei Vexierbildern auftritt.

Eine andere Deutung zu den Oszillationen ergibt sich dagegen aus einer Untersuchung von Christina Zelano et al. (Nasal Respiration Entrains Human Limbic Oscillations and Modulates Cognitive Function), wonach sich die langsamen oszillierenden Atmungsvorgänge auf einige Gehirnregionen übertragen und dabei kognitive Vorgänge beeinflussen.

Hervorhebung oszillierender Zustände

In den folgenden Grafiken werden ausgehend von der letzten Grafik der oberen Reihe mit 32 Iterationen Vergrößerungen des Zentralbereichs mit jeweiliger Erhöhung um einen Iterationsschritt dargestellt.

Weitere Ausschnittsvergrößerungen

Die Reihe beginnt mit einem kleinen Ausschnitt der Grafik des letzten Bildes der oberen Reihe (siehe Kreis). Die Oszillationen setzen sich bei den Wahrscheinlichkeitsdichten und auch bei den Ausschnittsvergrößerungen fort. Als Folge der Ausschnittsvergrößerungen werden bei kleinen Iterationen Unschärfen im Randbereich sichtbar (z.B. bei 36 oder 37 Iterationen), die bei zunehmender Zahl von Iterationsschritten als Folge höherer Genauigkeiten bei dem iterativen Rechenprozess wieder kleiner werden.

Virtuelle Reise durch die Julia-Menge mit veränderlichen Iterationen und veränderlicher Störgröße c

Eine weitere Erhöhung der Variabilität der Julia-Mengen ergibt sich, wenn neben einer variablen Anzahl von Iterationsschritten der eigentlich konstante Term c der Julia-Funktion z² + c in eine zeitabhängige Variable c(t) gewandelt wird. Da zeitabhängige Veränderungen nur teilweise in einzelnen Grafiken nachverfolgt werden können, wird hier eine Videoaufnahme abgespielt, durch die sich die Veränderungen auf der Zeitachse besser verfolgen lassen.

Bei dem hier gezeigten Video werden bei einigen Phasen die Iterationsschritte in Abhängigkeit von der Zeit vorwärts und anschließend teilweise auch wieder rückwärts vorgenommen, so dass eine Art Rechteckkurve des Iterationsprozesses zustande kommt und einige der vorher entstandenen Oszillationen auf der Zeitachse wieder rückgängig gemacht werden.

Dargestellt werden in dem Video allerdings nicht Wahrscheinlichkeitsdichten, sondern vielmehr wird bei jedem berechneten Pixel ein Fuzzy-Abstandsmaß verwendet, das auch negative Abstände zulässt (Erläuterungen siehe Abschnitt 3 "Hyperbolische Wellen" und Abschnitt 7 "Grenzwerte". Hierdurch werden bei einigen Julia-Mengen innere Strukturen der Julia-Fläche sichtbar. Bei dem Beispiel hier wird durch den Wechsel von Iterationsschritten die sprunghafte Oszillation sichtbar, die aber nicht so ausgeprägt deutlich wird wie bei den obigen Einzelgrafiken. Die Farben der Julia-Flächen entsprechen Blautönen, wobei eine Oszillation durch eine sprunghafte Veränderung des Blautones und der Julia-Menge erkennbar wird. Rottöne entsprechen bei der Darstellung hier den Gebieten mit divergierenden Werten, die bei den Darstellungen der Wahrscheinlichkeitsdichten in Grüntönen dargestellt werden. Die blauen Flächen entsprechen mit ihrer Fuzzy-Ungenauigkeit weitgehend Flächen mit einer Wahrscheinlichkeitsdichte <=4.

Als zeitliche Veränderung werden außerdem variable Maßstäbe und variable Begrenzungskoordinaten verwendet.

Inwieweit diese Variabilitäten bereits für die von Ralf Otte erwünschte Amplitudenmodulation genutzt werden kann, müsste noch geprüft werden. Das Ziel von Ralf Otte besteht darin, eine neuartige Form für die Speicherung von Informationen zu entwickeln, die eines Tages möglicherweise von neuromorphen Computern genutzt werden können.

Das Video wurde 2019 aufgenommen.

Eine virtuelle Reise durch z²+c(t) beginnend mit Startwert c(0)=(0,0i)

(1:07 min)
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Der Iterationsvorgang wird von Ralf Otte als Bewusstwerdungsprozess interpretiert, bei dem es bei Wahrscheinlichkeitsdichten mit einem Betrag <=4 zum Zusammenbruch der Wellenfunktion durch die bewusste Beobachtung kommt. Eine wie im Video durchgeführte rückläufige Iteration wird es in der Natur in der hier gezeigten Form wohl nicht geben, aber bei Hinwendung des Bewusstseins auf ein anderes Objekt gerät das ursprüngliche Objekt, das zu einer Beobachtung geführt hatte, aus dem Fokus des Bewusstseins. Das wäre damit gleichzusetzen, dass der zuletzt vorhandene Iterationswert wieder zurückgesetzt wird. Falls 0, entspräche das einer vollkommenen Unbewusstheit in Bezug auf das ursprüngliche Objekt ähnlich wie bei Jungschen Archetypen, die vor ihrem Auftreten mit einer physiologischen Reaktion in ihren Wellenfunktionen für die Möglichkeitsfelder und auch für die Beobachtungsfelder dem Startwert z₀ entsprächen, also dem Zustand vor Beginn einer (erneuten) Iteration. Der Iterationswert kann aber auch in einem von Ralf Otte bezeichneten vorbewussten Zustand mit einem Wert >0 als das ursprünglich beobachtete Objekt verbleiben, das aus dem Fokus geraten ist und nun weiterhin als Erinnerung verfügbar ist. Durch eine Erinnerung an dieses Objekt (sei es durch erneute Beobachtung oder durch Erzeugung eines geistigen Abbildes der Erinnerung) wird es wieder in das Bewusstsein (also das Beobachtungsfeld) zurückgeführt, was mit einem erneuten Kollaps der Wahrscheinlichkeitswelle verbunden ist.

Von diesem Gesichtspunkt aus gesehen, kann man davon ausgehen, dass es zu verschiedenen Formen des Zurückführens von Iterationswerten kommen kann.

Hyperbolische Wellen

Als Erweiterung der Monographie von Ralf Otte werden hier beispielsweise auch andere fraktale Julia-Funktionen dargestellt, die ebenfalls Eigenschaften von Oszillationen aufweisen. Hierzu werden Beispiele in dem folgenden Abschnitt aufgeführt.

Themengebiet Hyperbolische Wellen

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