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Julia-Mengen als Wahrscheinlichkeitswellen

7. Grenzwerte

In seiner Monographie "Vorschlag einer Systemtheorie des Geistes", Cuvillier-Verlag Göttingen (2016) beschreibt Prof. Ralf Otte unter anderem das Ziel ausgehend von einer virtuellen Spiegelwelle im Beobachtungsfeld über Verschränkungskorrelationen statistisch auf die Wahrscheinlichkeitsamplituden einzuwirken und somit nicht kausal die nicht-energetischen Materiewellen zu beeinflussen. Die Realisierung dieses Ziels könnte zu einer neuartigen Speicherung von Informationen im Möglichkeitsfeld führen.

Die Grafiken und Videos hier wurden 2024 erstellt.




Die von Ralf Otte beschriebenen Iterationsverfahren auf Basis von Julia-Funktionen kann man als Näherung der Ausprägung von Sinus-Wellen und deren Abarten in einem komplexen Zahlenraum ansehen, die sich durch Überlagerungen, geeignete Störgrößen oder Rundandanzen derart beeinflussen lassen sollten, dass Informationen im Sinne einer Wellenmodulation Bestandteil einer Basiswelle werden. Physikalisch sollten sich derartige Modulationen mittels elektromagnetischer Wellen beispielsweise durch Laserstrahlen realisieren lassen. Eine Beobachtung derartiger Wellen im Beobachtungsfeld setzt die Interaktion der Wellen mit Objekten voraus - beispielsweise beim Kollaps der Welle würde der korpusskulare Charakter des Photons durch Reaktion mit einem Elektron, das seinerseits vor dieser Reaktion ebenfalls einen Wellencharakter aufweist, sichtbar, indem durch Änderung des energetischen Levels des Elektrons ein Photon mit ebenfalls geänderter Energie wiederum in Wellenform auf einen Beobachtungsschirm trift. Dort findet erneut ein Kollaps dieser nun veränderten Welle bei der Interaktion mit den gebundenen Elektronen des Beobachtungsschirms statt, die im Beobachtungsfeld im Bewusstsein des Menschen sichtbar werden können.

Wenn man derartige Prozesse zur Speicherung von Informationen nutzen will, dann macht es Sinn - wie von Ralf Otte vorgeschlagen - Verschränkungskorrelationen zu verwenden, bei denen ein nicht direkt beobachtbares Objekt im Möglichkeitsfeld über Fernwirkung mit einem korrelierten beobachtbaren Objekt im Beobachtungsfeld interagiert. Als Objekt in Betracht kommt der Spin von Elektronen, der immer nur 2 verschiedene Zustände annehmen kann (Spin 1/2 oder -1/2). Bei Objekten dieser Größenordnung müssen allerdings die Effekte, die kurz auf der letzten Seite angesprochen wurden und die sich durch die Planck-Größen ergeben, genauer untersucht werden. Die Auswirkung derartiger Effekte sollte auch durch das mathematische Modell berücksichtigt werden.

Nicht zuletzt sollten auch die hinter diesen Effekten stehenden Bewusstseinsprozesse, die man als Ausstrahlungen des Möglichkeitsfeldes in das Beobachtungsfeld ansehen kann, betrachten.


Der Raum der Gleitkommazahlen G

DIe Menge der Gleitkommazahlen G in Verbindung mit ihren in Gleitkommaprozessoren angelegten Rechenregeln können nach Jürg Nievergelt bei entsprechenden linearen Rekursionsformeln mit bestimmten Parametern dazu führen, dass Rundungsfehler zu exponentiell wachsendem Rauschen führen, das ein chaotisches Verhalten mit einem Ergebnis produziert, das von der Darstellung Seltsamer Attraktoren nicht mehr zu unterscheiden ist. Die Menge G stellt eine Teilmenge des Raumes der reellen Zahlen ℝ und auch eine Teilmenge des Raumes der rationalen Zahlen ℚ dar. G ist eine beschränkte, abzählbare Menge, bei der bestimmte Rechenoperationen als Folge der Beschränktheit Ergebnisse produzieren, die eigentlich Bestandteil von ℝ sein müssten, und die auf Ebene von G als Rundungsfehler mit einem Ergebnis aus G resultieren.

Jürg Nievergelt hat in seinen Beispielen dabei das Kreuzprodukt von G X G als Teilmenge des Körpers ℂ verwendet. Diese Art der Berechnungen wurde auch bei den hier verwendeten Darstellungen von Julia-Funktionen verwendet. Im Abschnitt "Hyperbolische Wellen" wurde bereits ein Beispiel mit einer oszillierenden Darstellung und fraktalen Substrukuren auf Basis der dort genannten Fuzzy-Abstände gezeigt. Diese Fuzzy-Abstände entsprechen keiner Metrik, da sie negative Werte enthalten können und somit eigentlich unzulässige Abstandswerte wiedergeben. Wenn man aber die Aussagen von Brian Greene betrachtet, denen zu Folge unterhalb der Planck-Länge auch Werte mit negativen Abständen auftreten können, dann macht es Sinn zu schauen, ob man die hier gewählten Fuzzy-Abstände als Modell für die Darstellung von Längen unterhalb der Planck-Länge verwenden kann. Die Planck-Länge der hier verwendeten Gleitkommamenge G sollte sich aus der Beschränkheit von G und den Rechenregeln des Gleitkommaprozessors bzw. der hier verwendeten Java Virtual Machine (JVM) ermitteln lassen.

Im Folgenden wird daher zunächst noch einmal das Verhalten derjenigen Fuzzy-Abstände, deren Bildung durch Anwendung einer modifizierten Manhattan-Metrik gegen die allgemein gültigen Regeln einer Metrik verstoßen, genauer betrachtet. Die korrekte Anwendung einer Manhattan-Metrik führt zur Summation von Rasterlängen unabhängig von den eingeschlagenen 4 "Himmelsrichtungen". Die hier abgewandelte Form der Manhattan-Metrik wird dagegen durch durch Beibehaltung der Vorzeichen der 4 Himmelsrichtungen gebildet, wobei als Ergebnis in Abhängigkeit von den 4 Himmelsrichtungen auch negative Abstandswerte entstehen können. Die Himmelsrichtungen besitzen ein ähnliches Analogon in der Riemannschen Zahlenkugel für ℂ, die auf eine 2-dimensionale Ebene gelegt wird, wobei der Südpol mit der Repräsentanz von 0 auf der Ebene aufliegt und der Nordpol der Zahlenkugel mit seiner Repräsentation von ∞ in der 3. Dimension oberhalb vom Südpol liegt. Aus Sicht eines Betrachters sähe die Riemannsche Zahlenkugel dann aus wie auf dem Bild 3 der vorherigen Seite, bei der die Realwerte der reellen Achse (in transparentem grau) hervorgehoben wurden.

Die Fuzzy-Abstände entsprechen nun nicht der Riemannschen Zahlenkugel, sondern können in den Grafiken vielmehr als Repräsentanten von Resultierenden von je 2 Vektoren in der 3. Dimension angesehen werden. Zu jedem Pixel wird diese Resultierende nach den (modifizierten) Regeln der Manhattanmetrik gebildet, wobei die Darstellung in Analogie zur Zahlenkugel einer jeden Aufsicht auf jedes Pixel aus Richtung des "Nordpols" entspricht, wobei die Kugel mit ihrem Südpol jeweils auf jedes Pixel verschoben wird. Bei dieser Darstellung bleibt der Vektor punktförmig. Die Resultierende wird dann durch Farbwahl angezeigt, wobei negative Werte, die in eine Richtung unterhalb der Darstellungsebene weisen, von positiven Werten, die zum Nordpol weisen, farblich unterschiedlich dargestellt werden. Auf diese Weise werden Pixel mit gleicher Farbzuweisung als flächenförmige Gebiete vom Betrachter wahrgenommen.

Im Hinblick auf die Problematik der Gültigkeit von Cauchy-Folgen bezogen auf die Randbedingungen von G und den grundsätzlichen Beschränkungen durch die Planck-Größen wird im Folgenden davon ausgegangen, dass zumindest bei Beschränkung auf Teilfolgen ohne Grenzwertbildung für das von der Julia-Fläche umschlossene Gebiet (Julia-Fläche) gilt, dass alle auf Pixelebene ermittelten konvergierenden Teilfolgen im Rahmen einer Unschärfe Cauchy-Folgen gleichgesetzt werden. Diese Gebiete würden dann im Rahmen einer gewissen Genauigkeit einem Banachraum gleichgesetzt.

Allerdings gibt es noch eine weitere Problematik bei der Verwendung von G: Wegen der Begrenztheit von G lassen sich nicht beliebige Vergrößerungen des Maßstabs der Koordinatenebene vornehmen. Hier gibt es eine (oder mehrere?) natürliche Grenzen, die man als Analogie zur Planck-Länge ansehen kann. Bei einer Überschreitung einer maximalen Vergrößerung (also einer extremen Verkleinerung der Zahlengeraden des Koordinatenfensters) bricht der Bildaufbau als einfarbige Fläche ab, da dann der Gleitkommaprozessor und das endliche Zahlenformat von Gleitkommazahlen keine weiteren Rechenoperationen mehr zulassen und ein undefinierter Zustand entsteht.


Negative Abstände bei (z3 + c) / z

Bei der oben beschriebenen Art der Darstellung von resultierenden Vektoren als farbige Punktsymbole entstehen bei einigen Julia-Funktionen bei Verwendung einer passenden Störgröße c Flächenstrukturen im Sinne von Mengen, die ihrerseits fraktalen Charakter aufweisen. Handelt es sich dabei um "reale" Fraktale oder um chaotische Bildformationen, wie sie von Jürg Nievergelt und Peter Schorn gezeigt wurden? ( "real" hier in der Bedeutung der Sichtbarkeit einer Erscheinung, die einerseits nicht existiert, andererseits aber auch nicht nicht-existiert analog zur Betrachtungsweise im Madhyamaka, woraus sich aber auch ergibt, dass die duale aristotelische Logik sich als unzureichend herausstellt)

Um sich der Fragestellung einer möglichen Existenz der chaotischen Formationen als eigenständige Fraktale zu nähern, wird ein Beispiel mit Cauchy-(Teil)-Folgen auf Basis der Julia-Funktion (z3+c)/z näher betrachtet. Bei den Fuzzy-Abständen werden hier positive und negative Abstände durch schwarz/weiße Konturierung voneinander abgegrenzt, in Annäherung an die Signumfunktion.

Dazu werden mehrere Bildserien dargestellt, bei denen jeweils ein Bild mit Wahrscheinlichkeitsdichten einem Bild mit Fuzzy-Abständen gegenübergestellt wird. Darstellungen der chaotischen Strukturen von Jürg Nievergelt weisen alle unscharfe Strukturen auf, die zudem noch auf verdichteten Punktewolken in Form disjunkter Mengen basieren (wegen fehlenden Copyrights können diese Bilder hier nicht angezeigt werden). Die hier gezeigten Bilder zeigen dagegen im Rahmen der Genauigkeit der Pixelgröße auf dem Bildschirm Strukturen, aus den sich direkt ein Rand und somit auch auf Pixelbasis begrenzte Mengen konstruieren lassen, was bei den Bildern von Jürg Nievergelt und Peter Schorn nicht der Fall ist. Allerdings zeigen sich bei einigen Bildern neben Strukturen, die einen Rand bilden können, in unmittelbarer Nachbarschaft auch Strukturen aus Einzelpixeln, aus denen sich kein Rand konstruieren lässt (siehe beispielsweise vergrößerte Darstellung von Serie 1 Bild 8), wenn man davon absieht, dass auch Einzelpixel gleichzeitig eine Fläche und einen Rand repräsentieren können. Diese Einzelpixel sind aber im Rahmen der Genauigkeit von Pixeln auch auf den Darstellungen der Wahrscheinlichkeitsdichten (Serie 1 Bild 7) erkennbar. Eine eindeutige Aussage über die Existenz fraktaler Substrukturen in den Julia-Flächen lässt sich auf diese Weise nicht treffen.

Serie 1: Einzelpixel als Punktewolke vs. Flächenobjekte

Detailbilder und tiefer gehende Iterationen (vergleiche Bilder 1-12) zeigen, dass der Effekt des Auftretens von Einzelpixeln, die auch bei den Bildern mit den dargestellten Wahrscheinlichkeitsdichten auftreten, erhalten bleibt.


Bei den Bildern 6 - 12 handelt es sich um Ausschnittsvergrößerungen; teilweise mit größeren Iterationstiefen.


Serie 2: Einfluss der Iterationstiefe

In der Bilderserie 2 wird exemplarisch dargestellt, zu welchen Auswirkungen der Iterationsprozess von 40-4000 bei den Fuzzy-Werten führt (Bild 2-4 in Serie 2). Hier werden keine Wahrscheinlichkeitsdichten dargestellt, da dann fast ausschließlich schwarze Flächen, die einen niedrigen Wahrscheinlichkeitswert widerspiegeln, zu sehen sind. Bild 1 zeigt ein Übersichtsbild. Die Vergrößerung in den Bildern 2-4 bleibt konstant, so dass sich die Effekte besser vergleichen lassen. Gegenübergestellt werden Bilder mit einer etwas höheren Vergößerung und unterschiedlichen Iterationstiefen (Bilder 5-7).

Bei den Bildern 2-4 wurde der Zentralbereich aus Bild 1 vergrößert. Das Koordinatenfenster dieser 3 Bilder wurde konstant gehalten.

Bei genauerer Betrachtung der höher aufgelösten Bilder kann man feststellen (insbesondere bei Bild 3 und 4), dass kleine farbige kreisförmige Strukturen sichtbar werden. Hierbei handelt es sich mathematisch gesehen um Löcher in der von der Julia-Menge umgebenen Fläche, so dass es in einem mehrfach zusammenhängenden Raum Wege gibt, die nicht durch stetige Deformation ineinander überführt werden können.

Bei Bild 4 wird außerdem sichtbar, wie oszillierende Strukturen bereits in kleinsten Formationen auftreten können. Im Video, das im Abschnitt der Hyperbolischen Wellen gezeigt wird, lassen sich die Effekte der groß- und kleinräumigen Oszillationen als Bewegtbilder besser erkennen. Auch wird in den Schlussbildern des Videos die Beziehung zwischen Loch und zu der von der Julia-Menge umgebenen Flächen (Julia-Flächen) klarer sichtbar.

In den Bildern zeigt sich auch, dass sich bei zunehmender Iterationstiefe flächige Gebiete zunehmend auflösen. In Bild 4 überwiegen kleine und sehr kleine Strukturen, die optisch den Punktwolken bei Jürg Nievergelt ähneln. Gegenüber Bild 2 sieht man außerdem eine geringfügige Zunahme von Löchern als kleine Farbpunkte umgeben von runden flächigen Objekten mit der Signatur positiver bzw. negativer Fuzzy-Abstände.

Eine sichere Folgerung, ob die Darstellung das Resultat chaotischen Verhaltens der Gleitkommarechnung ist, lässt sich aber nicht treffen.

Aus den Bildern resultiert aber die Frage, ob erhöhte Iterationsschritte zu einem Lückenschluss bei schwarzen bzw. weißen Teilflächen führen. Die Bilder 5-7 zeigen, wie sich Lücken dem Anschein nach zunehmend schließen, aber auch wie bei Bild 7 flächige Objekte als Teilmenge der Julia-Fläche zunehmend zerfallen. Hieraus lässt sich folgern, dass die flächigen Objekte nur dem Anschein nach bestehen, also im Sinn der Philosophie des Madhyamaka als leer gelten.


Serie 3: Wechsel positiver und negativer Fuzzy-Werte

Um eine bessere Einschätzung zu den Formationen bei den Fuzzy-Abständen und ihrer Realität bzw. Fiktivität zu erhalten, werden im Folgenden die berechneten Zahlenwerte zwischen positiven und negativen Abständen verglichen und auch den Wahrscheinlichkeitsdichten gegenübergestellt. Dazu wird ein Bereich ausgewählt, bei dem sich der Übergang gut verfolgen lässt. Verwendet wird wieder die Julia-Funktion (z3+c)/z, mit einer Ausschnittsvergrößerung in einem Gebiet, bei dem zur besseren Vergleichbarkeit nur wenig Veränderungen vorkommen.

preview z3-1E-40-1E-0-i50F

c=( -1E-40, 0i )
Iteration 50
Fuzzy-Abstände
Vergrößerung 1
Serie 4 Bild 1

preview z3-1E-40-0-i50Fmag82

c=( -1E-40, 0i )
Iteration 50
Fuzzy-Abstände
Vergrößerung 82
Serie 4 Bild 2

Bild 1 zeigt das Übersichtsbild. Ausgehend von diesem Übersichtsbild wird ein kleiner Teilausschnitt mit einem abrupten Übergang zwischen positiven und negativen Fuzzy-Abständen vergrößert (Bild 2). Von diesem Teilausschnitt werden für eine horizontale Linie für die 500 auf dem Bild vorhandenen Pixel die Fuzzy-Abstände und Wahrscheinlichkeitsdichten als Zahlenwerte ausgegeben. In Bild 2 ist auch schwach diese horizontale Linie mit ihren Abstandsmarkierungen in 10er und 50er Schritten zu erkennen. Die unten stehende Auflistung zeigt die Werte zwischen Pixel 408 und 418.

preview Fuzzy-Werte

Die Grenze zwischen positiven und negativen Fuzzy-Abständen zeigt sich hier deutlich zwischen Pixel 413 und 414. Eine Grenzwertbildung als Limes einer Teil-Cauchy-Folge lässt sich zwischen diesen beiden Pixeln mit den hier vorgenommenen Einstellungen nicht erkennen. Die Zahlenwerte liegen aber wohl nahe bei 0. Aus den Wahrscheinlichkeitsdichten mit ihren extrem kleinen Werten lassen sich keine Besonderheiten erkennen. Daher wird im Folgenden eine weitere Auswertung in einem Gebiet durchgeführt, das optisch einer von Jürg Nievergelt beschriebenen Struktur entspricht.


Serie 4: Chaotische Strukturen

Bild 4 aus Serie 2 zeigt einen chaotischen Bereich teilweise vergleichbar einer Punktewolke, wie sie auch von Jürg Nievergelt als Folge von iterativen Rundungsfehlern bei Verwendung von Gleitkommazahlen beschrieben wurde. Aus dem Übersichtsbild 1 aus Serie 4 wurden nun aus dem Zentralgebiet Vergrößerungen mit 500 Iterationen vorgenommen, die ebenfalls einer Punktewolke ähneln, und deren Werte auch als Teilauszug hier dargestellt werden.

Bild 1 zeigt die Wahrscheinlichkeitsdichte in dem vergrößerten Bereich. Es enthält wenige kleine Löcher (Gebiete mit Wahrscheinlichkeitsdichten >4). Dargestellt hier und auch den weiteren Bildern dieser Serie ist auch der horizontale Pixelmaßstab basierend auf 500 Pixeleinheiten. In den Detailbildern, die auf der Berechnung von 1000 Pixeln beruhen, wird zur besseren Vergleichbarkeit weiterhin der Maßstab von 500 Pixeleinheiten beibehalten.

In Bild 2 wurde dieselbe Ausschnittsvergrößerung gewählt mit der Darstellung der Fuzzy-Abstände gekennzeichnet in schwarz (negativ) bzw. weiß (positiv). Im vergrößerten Bild ist auch der horizontale Pixel-Maßstab dargestellt, der wegen der vielen unterschiedlichen Strukturen aber nur schwer zu erkennen ist. Für diesen Ausschnitt wird unten ein Auszug mit den dort vorliegenden Ergebnissen angezeigt. Da in diesen Ergebnissen einige ungewöhnliche Einzelwerte auftreten, wurde weiter unten noch eine weitere Vergrößerung (Bild 3) vorgenommen, die in Bild 2 als rotes Rechteck angedeutet ist.

preview Fuzzy-Werte

Zwischen den Pixeln 250 (Zentrum von Bild 2) und Pixel 262 lassen sich die Werte des Loches erkennen, bei denen höhere Fuzzy-Abstandswerte zu erkennen sind. Ungewöhnlich hoch ist aber auch die Wahrscheinlichkeitsdichte bei Pixel 250. Hier kann nur vermutet werden, dass der hyperbolische Term in (z3+c)/z die Ursache für einen derart hohen Wert ist. Nach dem Loch ab Pixel 263 treten - wie zu erwarten - abwechselnd positive und negative Fuzzy-Abstände auf, die auch die granulare Struktur in Bild 2 widerspiegeln; die Wahrscheinlichkeitsdichten besitzen hier wieder normale Werte knapp über 0. Ungewöhnlich sind aber die Werte bei Pixel 277 und 281. Es entsteht der Eindruck von kleinen Löchern, die aus nur 1 Pixel bestehen.

Um zu klären, worum es sich hier handelt, wurde in Bild 3 das Gebiet um diese beiden Pixel weiter erheblich auf 75.378 vergrößert. Im Zentrum von Bild 3 zeigt sich jetzt ein in diesem Maßstab deutlich erkennbares Loch. Der Auszug aus der Ergebnisliste beginnt erneut bei dem neu zentrierten Loch wiederum bei Pixel 250 und zeigt bis Pixel 258 wieder die typischen Daten eines Loches sowie anschließend wiederum die Werte der granularen Struktur.

preview Fuzzy-Werte

Bei Bild 4 wurde der Bereich von Bild 3, in dem sich in den Daten 2 kleine Löcher verbergen (rotes Rechteck), erneut vergrößert, jetzt auf 6.207.053. Bei dieser Vergrößerung werden deutlich 2 weitere Löcher sichtbar. Die Bildstrukturen bei den verschiedenen Vergrößerungen erscheinen selbst-ähnlich, so dass zu erwarten ist, dass weitere Löcher in dieser Julia-Fläche vorhanden sind. Hieraus ergibt sich auch wiederum erneut die Frage, ob bei hinreichender Vergrößerung kombiniert mit hinreichender Iterationstiefe nicht an allen Koordinaten der Julia-Fläche dieser hyperbolischen Wellenfunktion Löcher auftreten und sich die Julia-Fläche somit insgesamt als leer bzw. nicht wirklich vorhanden herausstellt.


Negative Abstände bei der sinusförmigen Julia-Funktion z2+c

Im ersten Abschnitt dieses Essays wurde bereits ein Beispiel gezeigt, aus dem hervorgeht, dass die Zunahme der Iterationstiefe das Verschwinden von Julia-Flächen mit Wahrscheinlichkeitsdichten <4 bewirken kann, so dass Cauchy-Folgen anscheinend im Rauschen aufhören zu existieren. Aus diesem Grund werden im Folgenden Fuzzy-Abstände und Wahrscheinlichkeitsdichten bei dieser Julia-Funktion in einem alternierenden Bereich betrachtet. Dazu wird noch einmal die Julia-Funktion mit der Störgröße (-1.35, 0i) herangezogen, die bereits auf der vorherigen Seite "Simulation" verwendet wurde.

Serie 5: Stetigkeit?

Zur besseren Sichtbarkeit wurde die Anzahl der Iterationen zunächst auf 17 beschränkt, da bei dieser Iterationstiefe die Berechnungsergebnisse eine größere Vielfalt/Unschärfe zeigen.

In Bild 1 werden die Werte der Fuzzy-Abstände als variierende bläuliche Farben (von weiß bis blau) dargestellt, wobei sich nur geringfügige Varianzen in den Julia-Flächen zeigen. Die Darstellung der Wahrscheinlichkeitsdichten des Übersichtbildes auf der vorherigen Seite zeigt hier größere Unterschiede.

Die Vergrößerung eines Teilbildes auf der linken Seite vom genannten Übersichtsbild zeigt diese Unterschiede detailreicher (Bild 2).

preview Fuzzy-Werte

Die Auflistung enthält die Ergebnisse der Fuzzy-Abstände und die Werte der Wahrscheinlichkeitsdichten aus dem zentralen Bereich von Bild 2 von Pixel 230 - 260. Der Übergang der Wahrscheinlichkeitsdichten von niedrigen Werten zu höheren zeigt sich zwischen Pixel 250 und 251. Auch wenn sich hier ein scheinbar stetiger Verlauf zeigt, ist aber nicht sichergestellt, dass die unendlich vielen Koordinaten aus ℂ zwischen diesen beiden Pixeln bei hinreichend tiefer Iteration weiterhin immer zu stetig erscheinenden Werten führen, solange kein Nachweis über die Existenz zur Grenzwertbildung von Cauchy-Folgen bei Fraktalen erbracht werden kann.

Bei den hyperbolischen Wellengleichungen wird wohl durch den hyperbolischen Term in den Funktionsgleichungen die hohe Varianz und das Auftreten von Löchern hervorgerufen, die innerhalb der Julia-Flächen auch bei niedrigen Iterationstiefen zwar zu (scheinbar) zusammenhängenden Räumen führen aber mit Wegen zwischen fiktiven Punkten in den Räumen, die nicht durch Deformationen ineinander überführt werden können - also Löcher im Raum.

Bei der Julia-Funktion z2+c ist der Komplexitätsgrad des Raumes in ℂ dagegen erheblich geringer. Bild 3 zeigt eine Vergrößerung des Zentralbereichs von Bild 2 bei einer Iterationstiefe von 1001. Eine sichere Aussage, ob die Julia-Fläche zusammenhängend ist oder ob es sich um offene Teilmengen eines metrischen Raumes in ℂ handelt, lässt sich durch die Grafiken nicht erschließen.


Fazit

Ralf Otte hat die von ihm konzipierten Beobachtungsfelder als virtuell charakterisiert, derart dass Veränderungen in der nicht-energetischen Wahrscheinlichkeitswelle des Möglichkeitsfeldes über die Transformationsfunktion zu Veränderungen der virtuellen Beobachterwelle führen, während umgekehrt Veränderungen im Beobachterfeld über Verschränkungskorrelationen die Wahrscheinlichkeitsamplituden der nicht-energetischen Wahrscheinlichkeitswelle rein statistisch ohne das Prinzip von Ursache und Wirkung und ohne Vorhersagbarkeit beeinflusst werden können. Hieraus lässt sich die Leerheit der virtuellen Spiegelfelder folgern, wie sie sich oben als Ergebnis des vermutlich unbeschränkten Auftretens von Löchern und dem augenscheinlichen Verschwinden konvergierender Cauchy-Folgen anscheinend ebenfalls zeigt.

Zu einer ganz ähnlichen Aussage kam im 2. Jahrhundert der indische Philosoph Nagarjuna durch Introspektion des Geistes mittels Meditationstechniken, aus deren Einsichten er seine Philosophie Madhyamaka ("Mittlerer Weg") entwickelte und schriftlich niederlegte. Nagarjuna hat für die Durchführung von Geistexperimenten für andere Meditierende in seinem Werk Dharmadhatustava ein Konstrukt von 3 ineinandergreifenden "Körpern" (Kayas) mit dezidierten Eigenschaften erstellt, das den Meditierenden erlaubt, Nagarjunas eigene Geistexperimente in einem Erscheinungsraum (Dharmadhatu genannt) nachzuvollziehen. Die 3 Kayas (Dharmakaya, Sambhogakaya, Nirmanakaya) entsprechen inhaltlich weitgehend den von Ralf Otte definierten Möglichkeitsfeldern, der Transformationsfunktion und den virtuellen Beobachtungsfeldern. Hierbei können von Meditierenden konkrete und sehr klare, aber subjektive Bewusstseinserfahrungen auf den Ebenen ("Körpern") von Sambhogakaya und Nirmanakaya erfahren werden, während die Objektivität des Dharmakaya nicht beobachtbar ist, sondern allenfalls gefühlt werden kann.

Eine der grundlegenden Erkenntnisse Nagarjunas lautet in Form eines Aphorismus: "Alles existiert nur dem Anschein nach!". Der philosophische Nachweis für die sich daraus ergebende Leerheit aller Phänomene wird von Nagarjuna mittels Tetralogik vorgenommen. Nagarjuna beschreibt 20 verschiedene Arten des Leerseins, aus denen sich Folgerungen für verschiedene Erfahrungen ergeben; beispielsweise für das Untersuchen von Zeit oder Bewegung im Raum. Neben der von ihm angewandten Tetralogik führt Nagarjuna bisweilen auch eine Art logischer Cauchy-Folgen auf, bei denen er eine geistige Grenzwertbildung in Richtung beliebig kleiner Einheiten vornimmt und daraus Schlussfolgerungen zieht. Aus seiner Philosophie ergibt sich auch das Nicht-Vorhandensein von Unendlichkeitsaspekten bzw. jeglicher Form von Theismus, aber umgekehrt auch das Nichtvorhandensein eines Nihilismus, da auch das Leersein der Phänomene dazu führen kann, dass die Phänomene emotional wirksam sind und auf diese Weise zu Veränderungen von Zuständen des scheinbaren Körpers führen (z.B. durch Ausschüttung von scheinbaren Botenstoffen, die den scheinbaren Körper verändern und auch den Zustand des Geistes verändern). Hiermit beschreibt Nagarjuna ein ganz ähnliches Prinzip einer Übertragung von Informationen wie Ralf Otte mit der Speicherung von Informationen in einer virtuellen hyperkomplexen Spiegelwelle nach Multiplikation mit einer nicht-energetischen komplexen Wahrscheinlichkeitswelle des Wahrscheinlichkeitsfeldes. Spezielles meditatives Erleben des Nicht-Dualen, bei denen Subjekt und Objekt zu nicht-beschreibbarem "«Nicht»" (ohne "s" am Ende von Nicht) bzw. nicht beschreibbarem "«Nein»", von dem kein niemand und kein jemand sagen kann "dies ist es", verschmelzen, entspräche dann der von Ralf Otte beschriebenen Verschränkungskorrelation, die zu einer nicht vorhersehbaren Veränderung des Möglichkeitsfeldes führt.

Die Aussagen Nagarjunas, die im 7. Jahrhundert durch den indischen Philosophen Chandrakirti kommentiert wurden, sind mit ihrer holistischen Sicht insbesondere für den westlichen Kulturkreis teilweise schwer verständlich. Daher hat im Jahr 2000 Khenpo Tsultrim Gyamtso Rinpoche die Philosophie Nagarjunas einem westlichen Publikum mündlich erläutert. Diese Erläuterungen wurden von Christoph Klonk als Text aufbereitet (Taghelle Weisheit - Erforschung der Wirklichkeit), so dass sie jetzt für den westlichen Kulturkreis besser verständlich sind. Da aber das holistische Gedankengut und die Anwendung der Tetralogik in Verbindung mit der Wahrnehmung von Phänomenen in der eigenen Lebenserfahrung immer noch schwer nachzuvollziehen sind, wurden in einigen Städten (Bielefeld, Marburg, München, Wien, Köln) Studiengruppen unter der Leitung von Chriostoph Klonk eingerichtet, in denen der Text weiter erläutert wird, so dass die Aussagen Nagarjunas erfahrbar werden können.


Ergänzung April 2024:

Attraktoren

Eine Eigenschaft Iterierter Funktionensystem besteht darin, dass sie verschiedene Typen von Attraktoren ausbilden können, die beispielsweise das Gebiet konvergierender Werte sichtbar machen. Im folgenden Abschnitt werden hierzu einige Beispiele gezeigt und Ähnlichkeiten mit Schwarmtrajektorien aufgeführt.


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