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Bei der im vorherigen Abschnitt unternommenen Simulation der Verarbeitung von Ergebnissen der Julia-Funktionen wurde zur Vereinfachung eine direkte Abbildung aus dem Möglichkeitsfeld als Input für das künstliche neuronale Netz gewählt. Dies entspricht allerdings nicht den Vorgaben, die sich aus der von Ralf Otte gewählten hyperkomplexen Algebra ergeben. Auch entspricht dies nicht den Konzepten und Beobachtungen buddhistischer Weisheitsphilosophien. Vielmehr ist davon auszugehen, dass die nicht-energetischen Wellenmuster im Möglichkeitsfeld, das dem Dharmakaya im Buddhismus entspricht, nicht beobachtbar sind. Beobachtbar als reflexiv im Geist erkannte Phänomene dagegen sind die nach einem emergenten Impuls aus dem Dharmakaya (mit einer Wahrscheinlichkeitsdichte <=4 für konvergierende Iterationsergebnisse), die sich bei ausreichender geschulter mentaler Beobachtungsgabe in den sich im Sambhogakaya ablaufenden, emergenten Prozessen zur Bewusstwerdung als das Entstehen und Zuweisen einer Bedeutung zeigen, die der Übertragungsfunktion von Ralf Otte entspricht. Als vollständig bewusst selbstreflexiv erkannte Phänomene gelten Phänomene, die bei Fortsetzung des emergenten Prozesses als scheinbar real existierend wahrgenommen werden, wobei diese Manifestation als Nirmanakaya bezeichnet wird. Hierbei kommt es zu einem ggf. mehrfach stattfindenden Rückkoppelungsvorgang zwischen Samboghakaya und Nirmanakaya sowie auch dem Dharmakaya, wie der Zen-Meister Katsuki Sekida gezeigt hat. Hierzu hat er mit einem von ihm aufgestellten Konzept der sogenannten 3 Nen ein Modell entwickelt, bei dem der Ablauf von Denkprozessen formalisiert dargestellt wird (siehe hierzu: "Gedanken über Gedanken - Teil III - Kräuselungen des Bewusstseins". Bei einem wahrgenommenen Phänomen, das sich im Geist als ein bewusst gewordenes Objekt mit Bedeutung zeigt, müssen mindestens alle 17 von Anagarika Govinda bezeichneten Schwingungen (siehe vorherigen Abschnitt des Essay) mindestens 1x mal durchlaufen worden sein.

Aussagen über das Aussehen eines Objektes im Dharmakaya sind nicht möglich, da alle wahrgenommenen Objekte erst durch den emergenten Bewusstwerdungsprozess (im Samboghakaya bzw. durch die Übertragungsfunktion) und die neuronalen Eigenschaften des Gehirns (neue) Bedeutungen, Formen und Farben als wahrnehmbare Strukturen erhalten. Die durch Julia-Mengen und Julia-Flächen hier dargestellten Strukturen von Wahrscheinlichkeitsdichten stellen dagegen lediglich eine nicht reale grafische Darstellung in einem Koordinatensystem dar, das außerdem nur die Möglichkeiten auf Basis einer 1-dimensionalen Abbildung vergleichbar mit einem Laserstrahl zulässt. Die Übertragungsfunktion kann diese 1-dimensionale, beobachtbare Struktur im Beobachtungsfeld mit ihren verschiedenen Möglichkeiten einer Superposition sichtbar/beobachtbar werden lassen Ein Rückschluss von der beobachtbaren Struktur des Beobachtungsfeldes auf ein Objekt im Möglichkeitsfeld existiert allenfalls eingeschränkt, da der algebraische Schiefkörper dies nicht zulässt, was sich auch mit den Ergebnissen im Buddhismus (s.o.) deckt. Eine Veränderung oder Beeinflussung von Strukturen im Möglichkeitsfeld ergibt sich aber durch Veränderungen der Störgrößen der Julia-Funktion und auch durch Veränderungen der Iterationstiefe selbst - wie es sich hier auch bei einigen der eingangs dargestellten Grafiken zeigt. Geprüft werden müsste noch, ob auch durch eine geeignete Selbstveränderung der Störgrößen während des Iterationsprozesses bei der Herausbildung eines Seltsamen Attraktors Selbst-Beeinflussungen von Wahrscheinlichkeiten im Möglichkeitsfeld zu Ergebnissen führen, die sich im Beobachtungsfeld als sinnvoll veränderte Objekte zeigen.

Bei einer Simulation der Übertragung vom Möglichkeitsfeld zum Beobachtungsfeld genügt es daher nicht, die Ergebnisse der Julia-Funktion als Objekt im Beobachtungsfeld direkt weiterzuverarbeiten, wie es hier bisher dargestellt wurde. Vielmehr sollte eher eine Abbildung zur Anwendung kommen, bei der die Strukturen im Möglichkeitsfeld durch die Übertragungsfunktion als Superpositionen im Beobachtungsfeld sichtbar werden. Die Überlagerungen entsprächen dann einer Darstellung der Möglichkeiten des Möglichkeitsfeldes im Beobachtungsfeld. Diese Überlagerungen ihrerseits lassen - wie schon erwähnt - keine oder nur eingeschränkt Rückschlüsse auf die ursprünglichen Berechnungsergebnisse und Strukturen im Möglichkeitsfeld zu. Mit den hier benutzten einfachen komplexen Funktionen könnten die Erfordernisse des Schiefkörpers mit ihren hyperkomplexen Funktionen teilweise simuliert werden, wohl wissend, dass diese Simulation die Wirklichkeit allenfalls ansatzweise und nur modellhaft andeuten kann.

Im Folgenden wird daher ein Versuchsaufbau beschrieben, bei dem die Kollaboration von Neuronen eines künstlichen neuronalen Netzes (hier Netz III genannt) zu einer bildhaften Verarbeitung führen, die die Übertragungsfunktion in Teilen simulieren soll. Bei dem bisher verwendeten Netz II wurden lediglich Nachbarneuronen dazu benutzt, die Ergebnisse einzelner Punkte aus dem Möglichkeitsfeld zu kombinieren, was aber den o.g. Anforderungen nicht genügt.

Die hier verwendeten Algorithmen zur Berechnung von Julia-Funktionen sind ausgelegt bis zu 6000x6000 Bildpunkte zu berechnen und darzustellen, so dass hoch aufgelöste Druckvorlagen produziert werden können. Wenn man jedem Bildpunkt ein einzelnes Neuron zuordnet, müsste man 36 000 000 Neuronen generieren und verknüpfen, die zudem auch noch eine Vielzahl von Möglichkeiten enthalten sollten. Für herkömmliche Rechner wären Speicher- und Rechenaufwand sehr hoch. Daher wird hier eine Simulation vorgenommen, bei der nur unter bestimmten Voraussetzungen Neuronen miteinander verknüpft werden. Zur Reduzierung des Aufwands werden daher die dem Koordinatenfeld zugeordneten Neuronen jeweils nur zeilenweise untereinander verknüpft, so dass dabei maximal 6000 Neuronen zu verbinden wären (in den folgenden Beispielen werden nur 1000x1000 Bildpunkte verwendet, da höhere Auflösungen auf dem Bildschirm nicht mehr vollständig betrachtet werden können). Als weitere Bedingung für eine Kollaboration der Neuronen untereinander wird vorgegeben, dass jeweils 2 benachbarte Neuronen ein identisches Berechnungsergebnis im Möglichkeitsfeld besitzen müssen. Zur Vereinfachung und wegen der erweiterten Darstellungsmöglichkeiten werden hier aber nicht die Wahrscheinlichkeitsdichten des Möglichkeitsfelds verwendet, sondern die Ergebnisse, die bei vorgegebener Iterationstiefe den Iterationswert wiedergeben, bei dem es zur Divergenz kommt (in den Grafiken als Abbruch bezeichnet und farblich dargestellt), und diejenigen Ergebnisse, bei denen bis zum Abschluss der vorgegebenen Iterationstiefe alle Werte einen Abstand <2 vom Ursprung besitzen (meist in schwarz dargestellt).

Für diese Simulation werden die verknüpften Neuronen durch ein geografisches Symbol (beispielsweise Quadrat, Kreisfläche oder auch Kreislinie) als Ergebnis in Form von überlagerungsfähigen Bildsymbolen ausgegeben, wobei bereits vorher erzeugte Symbole wegen des zeilenweisen Vorgehens wiederum durch das neue Symbol überlagert werden können. Bei einer maximalen Größe von 6000x6000 Neuronen können auf diese Weise bis zu mehreren Millionen Überlagerungen mit zahlreichen Superpositionen einzelner Neurone entstehen, so dass Rückschlüsse auf das originäre Ergebnis aus dem Möglichkeitsfeld nur noch eingeschränkt möglich sind. Denkbar wären aber auch andere Formen der Darstellung, die als Ergebnisse der Übertragungsfunktion gewertet werden können, sowie auch andere Verknüpfungen der Neurone.


Die hier vorgenommene Verknüpfung von Neuronen wurde willkürlich vorgegeben; die Ergebnisse sind aber meistens nicht vorhersagbar. In einem der Realität besser angepassten Modell wäre aber eine sich selbst organisierende Verknüpfung von Neuronen zu erwarten, die sich als Folge der Emergenz aus dem Dharmakaya ergeben sollte. Aus vergleichbaren, in der Natur ablaufenden und beobachtbaren Prozessen wird postuliert, dass diese sich selbst organisierenden Vorgänge den (bisher nur postulierten) Schwarmregeln einer Schwarmintelligenz unterliegen. Möglicherweise lassen sich zukünftig einige Schwarmregeln aus dem mathematischen Prozess des Iterationsverfahrens ableiten, aus denen sich emergente Strukturen bilden könnten, wie z.B. die Bildung von organischen Molekülen oder Kristallen. So weit ist es hier aber noch nicht.

Wie oben schon erwähnt führt der Prozess der Bewusstwerdung im Sambhogakaya zur Emergenz von Bedeutungen. Somit führt dieser Prozess unter anderem auch zur Struktur und Semantik von Sprachen. Der Philosoph und Mathematiker Vasilii Vasilevich Nalimov ("Realms of the Unconscious: The enchanted Frontier") hat bei der Analyse der Semantik von Sprachen entdeckt, dass die Semantik ähnlichen probalistischen Konzepten unterliegt, wie sie auch in der Quantenphysik zur Beschreibung der Aufenthaltsorte von Elementarteilchen verwendet werden. Auf Basis einer Bayesschen Statistik zeigt sich der aus dem Unbewussten (Dharmakaya) hervorgehende, emergente Verlauf der Entwicklung und der Veränderung der Semantik über Jahre und Jahrzehnte hinweg bei Einzelpersonen sowie bei Personengruppen mit gemeinsamer Muttersprache als ein gemeinsamer Entwicklungs- und Veränderungsprozess der Semantik; beispielsweise Neuschöpfungen von Worten oder semantische Änderungen von Worten in der Jugendsprache, die teilweise in die Erwachsenensprache übergehen.

Es wäre denkbar, dass die Sprachsyntax hierbei die Rolle von Schwarmregeln einnimmt. Dabei können aber auch die Syntax und deren grammatikalischen Regeln im Laufe der Zeit selbst einer Änderung unterliegen. Außerdem ist davon auszugehen, dass die Übernahme oder Ablehnung von Begriffen der Jugendsprache durch Erwachsene ebenfalls Schwarmregeln unterliegt. Hinweise zu Schwarmregeln in der Natur, beim Verhalten von Menschen und Gedankenprozessen und den damit verbundenen Emergenzen finden sich in dem Essay "Schwarmintelligenz oder Schwarmdummheit".

Da verbale und teilweise auch non-verbale Gedanken auch als gedachtes Sprechen angesehen werden können, lässt sich dieser Denkprozess auch durch das von Katsuki Sekida in seinem Buch Zen-Training unter anderem beschriebene Konzept der 3 Nen als Prozessmodell für Gedankenabläufe verwenden. Die Zeit für eine Simulation derartiger Prozesse durch Anwendung von Julia-Funktionen ist aber ebenfalls noch nicht reif. Am nächsten scheinen hier zurzeit die Modelle wie Chat-GPT-X auf Basis ihrer antrainierten Texte und ihren unterliegenden Bewertungssystemen zu sein, die zu dynamischen Verknüpfungen künstlicher Neuronen führen.

Die folgenden Beispiele zeigen dagegen lediglich als Modellansatz den Prozess der Transformation (Übertragungsfunktion) durch grafische/mathematische Repräsentanten aus einem Möglichkeitsfeld in ein Beobachtungsfeld mit dem hier skizzierten einfachen, aber dynamischen Verbund künstlicher Neurone.

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Beispiele mit der Julia-Funktion ( z³ +c ) / z

Bei der schon vorher verwendeten hyperbolischen Wellenfunktion werden zum besseren Verständnis jeweils einige Bilder gegenübergestellt, so dass sich nachvollziehen lässt, welche Auswirkungen das hier beschriebene Vorgehen der Simulation einer Überlagerung mit werteproportionalen Symbolen auftreten.

Das Ausgangsbild 1 zeigt die Wahrscheinlichkeiten einer Beobachtungsmöglichkeit für jedes einzelne Pixel an.

Bild 2 zeigt als Darstellung positive und negative Fuzzy-Abstände.

Bei Bild 3 werden zeilenweise alle Pixel mit identischen Ergebnissen durch ein farbiges Quadrat entsprechender Größe symbolisiert, wobei farbige Überlagerungen entstehen, die zur besseren Sichtbarkeit im Transparenzmodus ausgegeben werden.

Zur Verdeutlichung der Überlagerungen werden in Bild 4 keine flächigen Quadrate, sondern nur die Umrandungen der Quadrate dargestellt. Die außerhalb der kreisförmigen Grundstruktur der Julia-Funktion befindlichen Gebilde werden ebenfalls durch die Umrandungen von Quadraten dargestellt. Wegen der geringerer Konstanz der Werte in diesen Randbereichen kommt es hier zu einer Vielzahl von Überlagerungen mit sehr kleinen Quadraten, die durch den oben genannten Prozess der Bildung einer Bedeutung im Sambhogakaya bei einem menschlichen Beobachter als scheinbar rundliche Figuren aufgefasst werden, obwohl es sich lediglich um die Anordnung von Quadraten handelt. Beim Menschen finden derartige Prozesse permanent und meistens unbewusst statt (Beispiel: bestimmte Formationen von Felsen erwecken den Eindruck von Tiergestalten oder Gesichtern, aber auch: einige Quadrate im Zentrum der Julia-Funktion und einige der farbigen Gebilde im Randbereich erwecken der Eindruck einer 3-Dimensionalität). Diese Art des Sehens ist das Ergebnis eines evolutionären Prozesses, der beim Menschen in der Kindheit ausgebildet wird.

Aber selbst die Wahrnehmung von Farben stellt eine unbewusste, rein geistige Emergenz dar, da Farben in der Natur nicht existieren, sondern als Folge der Energie von farblosen Photonen, die mit Sehzellen im Auge interagieren, eigentlich nur eine Welt in Grautönen wahrnehmen lassen sollten (David Eagleman).

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Beispiele mit der Julia-Funktion z² + c

Auch bei der Standard-Julia-Funktion z² + c können vielfältige Überlagerungseffekte auftreten. Bei den folgenden Beispielen wird als Ausgangsbild eine Standarddarstellung verwendet, die die Stabilität der einzelnen Rechenprozesse am Ende der Iteration wiedergibt.

Bei diesem Beispiel mit der einfachen Julia-Funktion z² + c bleiben die konvergierenden Elemente noch einigermaßen sichtbar. Dazu wurden die konvergierenden Flächen nach Anwendung der Übertragungsfunktion mit dem neuronalen Netz ohne transparente Filter mit vollem RGB-Anteil (0,0,0) in schwarz ausgegeben, so dass sie gegenüber den Überlagerungen durch transparente Elemente weiterhin sichtbar bleiben.

Die transparenten Gebiete (Bild 2 und 3) enthalten Werte, für die entsprechend ihrer Wahrscheinlichkeitsdichte mit divergierenden Werten (farbig dargestellt) eigentlich keine gültige Darstellung/Beobachtung bestehen sollte. Somit stellt sich die Frage nach der Bedeutung von nicht beobachtbaren Gebieten im Möglichkeitsfeld neu. Hier könnte man allenfalls spekulativ sagen, dass derartige Gebiete, für die keine Bewusstseinsbildung/keine Beobachtung möglich ist, durch nicht-bewusste bzw. nicht bewusst werdende Einflüsse das Bewusstsein beeinflussen (im Buddhismus Tib. zagpa , Pali: asava genannt), was durch die hier gezeigten Überdeckungen zum Ausdruck kommen könnte. Wie bereits im ersten Teil dieses Essays im Abschnitt "Wahrscheinlichkeitswerte" gezeigt, besteht ein Einfluss bereits allein durch die Auswahl einer Iterationstiefe, die zu Änderungen der Rechenergebnisse der Julia-Funktion führen kann.

Damit stellt sich auch die Frage nach der Bedeutung eines Iterationsschrittes neu. Die Grafiken selbst enthalten keine Zeitachse. In einigen Beispielvideos wurde die Zeitachse durch den Ablauf des Videos in Verbindung mit veränderlichen Störwerten c(t) visuell erfahrbar herbeigeführt, da diese Art einer zeitlichen Veränderung von 2-dimensionalen Grafiken als fixiertes Einzelbild nur ansatzweise mit einer zusätzlichen Achse oder durch eine Vielzahl von Einzelbildern möglich wäre. Die Aussagen zum Bewusstwerdungsprozess durch Schwingungen - wie von Lama Anagarika Govinda beschrieben - könnten einen Hinweis auf eine Zeitachse geben, die mit der Anzahl von Iterationsschritten korrespondiert. Gesichert sind derartige Schlussfolgerungen allerdings nicht.

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Hervorhebung der realen Achse im Beobachtungsfeld bei der Julia-Funktion z² + c

Die bisher gezeigten Bilder zum Beobachtungsfeld geben für die 1-dimensionale Ausgangssituation des hier bestehenden Modells für Möglichkeitsfelder bei dem Beobachtungsfeld eine 2-dimensionale Darstellung wieder, die noch weit von der für den Menschen erlebbaren Realität entfernt ist. Bei einer 1-dimensionalen Ausgangsbasis sollte bei einer Beobachtung auch wiederum nur eine 1-dimensionale linienförmige Struktur sichtbar sein; alle Gebilde außerhalb dieser 1-dimensionalen Linie stellen dann Wahrscheinlichkeitsdichten im Beobachtungsfeld dar, die nicht direkt sichtbar sein sollten (theoretische Ausnahmen könnten allenfalls für Menschen mit höherer Sinneswahrnehmung denkbar sein, z.B. Channeling). Bei den folgenden Bildbeispielen werden 1-dimensionale Linienstrukturen durch 2-dimensionale Symbole hervorgehoben, die zeigen, was von dem ursprünglichen 2-dimensionalen Wahrscheinlichkeitsfeld nach Anwendung einer Übertragungsfunktion, wie oben beschrieben, im Beobachtungsfeld für eine Beobachtung für die üblichen Sinne (hier Sehsinn) übrig bleibt. Dabei sollte klar sein, dass die hier gewählte Übertragungsfunktion auch nur einen modellhaften Ansatz darstellt, der von der Realität noch weit entfernt ist.

Die Bilder 1 und 2 zeigen wie schon in vorherigen Abschnitten das Erscheinungsbild einer Julia-Menge als Wahrscheinlichkeitsdichten (Bild 1) und die Darstellung mit einer Unterscheidung zwischen konvergierenden (schwarz) und divergierenden Ergebnissen (Bild 2).

Bei Bild 3 wird als Übertragungsfunktion das oben beschriebene neuronale Netz angewandt und deren Ergebnis im Beobachtungsfeld unterschieden dargestellt zwischen Objekten auf der realen Achse und Strukturen mit imaginären Werten. Auffällig ist das dominierende einfarbig-dunkelgraue Objekt im Bildzentrum, bei dem die Farbe schwarz semitransparent dargestellt ist. Dieses Objekt enthält ausschließlich konvergierende Werte. Die Größe dieses Objektes ist dadurch bedingt, dass die Verwendung der Störgröße c = (-1.35, 0.i) gezielt so gewählt wurde, dass auf der korrespondierenden realen Achse des Möglichkeitsfeldes viele zusammenhängende Ergebnisse mit konvergierenden Werten entstehen. Lediglich rechts und links von dem zentralen Objekt finden sich kleinere Strukturen mit divergierenden Werten (hier kleine graublaue Kreisflächen). Beim Vergleich der Bilder 1-3 kann man sehen, welche "Länge" der konvergierende Bereich ausmacht; in Bild 3 wurde diese Länge durch das mathematische Symbol einer dementsprechenden Kreisfläche ausgegeben.

Alle anderen sich überlagernden Kreisstrukturen im Hintergrund von Bild 3 repräsentieren die Ergebnisse der Julia-Funktion, bei denen Ergebniswerte auch imaginäre Anteile enthalten.

Die Bilder entsprechen einer Analogie zwischen dem nicht beobachtbaren Dharmakaya (Bild 1 und 2), dem Sambhogakaya mit seiner Bildung und Bewusstwerdung von Bedeutung, die durch das neuronale Netz die von Ralf Otte beschriebenen Übertragungsfunktion wiedergibt, und dem bewusst gewordenen objekthaften Bild, das als Nirmanyakaya bzw. für das Beobachtungsfeld steht (Bild 3).

Die divergierenden Bereiche auf der realen Achse könnte man eventuell als Unbewusstes interpretieren, das dem Bewusstsein in dieser Konstellation nicht zugänglich ist. Die Größe des zentralen Kreises könnte man als kohärentes Objekt interpretieren, beispielsweise als räumlich beschränkten Impuls eines Laserstrahls. Mit Julia-Funktionen ähnlich wie beispielsweise aus dem Abschnitt über induzierte Wellen ( z³ -z ) / ( c*z²+1 ) könnten sich eventuell auch mathematische Geraden oder Strahlen mit größerer räumlicher 1-dimensionaler Ausdehnung modellieren lassen. Die Interpretationen hier als Unbewusstes oder Laserstrahl ist allerdings auch nur als spekulativ anzusehen.

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Hervorhebung der realen Achse im Beobachtungsfeld bei imaginären Werten der Störgröße

Da die Verwendung von Störgrößen c mit komplexen Zahlenangaben zu anderen Ausprägungen der Julia-Mengen und Julia-Flächen führt (siehe auch im 1. Abschnitt dieses Essays), werden im folgenden die Auswirkungen auf die reale Achse im Beobachtungsfeld gezeigt.

In dieser Bilderserie wurde bei allen Berechnungen der Imaginärwert der Störgröße auf 0.07i gesetzt, woraus sich die veränderte Struktur der Julia-Fläche gegenüber den vorherigen Bilder zeigt.

Die Bilder 4-6 ergeben durch die Vergrößerung des Zentralbereichs einen höheren Detailierungsgrad.

Da die Übertragungsfunktion aus Sicht des Sambhogakaya dem Prozess der Bewusstwerdung und der Ermittlung von Bedeutung des Wahrgenommenen entspricht, besteht hier ein Untersuchungsbedarf, welche vom Menschen als real angesehene Objekte sich aus der Struktur im Möglichkeitsfeld manifestieren können. Zwar baut dieses Modell auf 1-dimensionalen Strukturen im Möglichkeitsfeld auf, aber unter Symmetriegesichtspunkten wäre es denkbar, dass die Kreisflächen im Beobachtungsfeld/Nirmanakaya in der 3. Dimension Kugeln oder anderen Formen entsprechen könnten. Beobachtbar wären dann die schwarzen Kreisflächen beispielsweise als Kugeln. Denkbar wären hierbei aber auch unterschiedliche Positionen der Kugeln im 3-dimensionalen Raum. Derartige Gebilde könnten bei geeigneter Wahl der Störgröße im 3-dimensionalen Raum möglicherweise die räumliche Struktur von Molekülen wiedergeben. Diese Sicht ist allerdings extrem spekulativ.

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Fraktaler Raum

Für Bild 6 aus der letzten Bilderserie wurde zusätzlich eine tiefer gehende Iteration mit 200 Schritten durchgeführt, um zu sehen, welche Veränderungen sich ergeben.

Wie zu erwarten war und wie bereits im 1. Abschnitt "Wahrscheinlichkeitswerte" mit Beispielen gezeigt, können sich mit zunehmender Anzahl von Iterationen im Möglichkeitsfeld stabile Gebiete mit konvergierenden Werten auflösen, so dass auch im Realteil des Beobachtungsfeldes mit der hier verwendeten Übertragungsfunktion keine Objekte mehr sichtbar sind, sondern allenfalls nicht beobachtbare Strukturen. Hiermit stellt sich die Frage nach der Bedeutung der Iterationsschritte (z.B. als Zeitachse) erneut.

Aus den Veränderungen wird direkt sichtbar, dass die iterativen Julia-Funktionen keine Cauchy-Folgen sind und somit auch keinen Hilbert-Raum darstellen und auch keinen Banach-Raum. Vielmehr handelt es sich stattdessen um einen fraktalen Raum mit fraktaler Geometrie. Für den im Buddhismus als Dharmadhatu bezeichneten Raum aller Erscheinungen interpretiert der Meditationslehrer Daniel M. Ingram, dass es sich bei diesem Raum ebenfalls um einen fraktalen Raum handelt.

Allerdings bleibt zu überprüfen, ob die entstehende Divergenz der zunächst konvergierenden Berechnungsfolgen, die ausgehend von jeder Pixelposition gebildet werden, nicht durch eine Eigenart der Berechnung verursacht wird. Im mathematischen Sinne müssten Cauchy-Folgen gegen einen Grenzwert im Raum der reellen bzw. komplexen Zahlen ℝ bzw. ℂ konvergieren, die unendliche und unbeschränkte Mengeneigenschaften besitzen. Bei den Berechnungen hier wurde als Zahlenmenge die Gleitkommamenge verwendet, die lediglich eine endliche, beschränkte Menge von ℝ darstellt, so dass keine vollständige Genauigkeit bei den Berechnungen erzielt werden kann. Außerdem wird lediglich für die Positionen der Pixel auf den Grafiken eine Berechnung vorgenommen. Zwischen 2 Pixeln bestehen aber wegen der Unbeschränktheit von ℝ bzw. ℂ unendlich viele Zwischenwerte, die nicht berücksichtigt werden. Wenn man nun aber von der Existenz einer Cauchy-Folge ausgeht, dann kann es aber dennoch passieren, dass bei Vergrößerungen und Maßstabsänderungen wegen der Unvollständigkeit der Gleitkommamenge die Koordinate auf der Grafik nicht mehr exakt übereinstimmt mit der Position der Cauchy-Folge im metrischen Raum ℝ bzw. ℂ. Das kann ebenfalls dazu führen, dass Abweichungen von der ursprünglichen Cauchy-Folge auftreten, die sich zu einer Divergenz hochschaukeln. In einigen Videos kann man bisweilen sehen, wie als Folge von Maßstabsänderungen für einen kurzen Moment einzelne Pixel andersfarbig aufleuchten, was einen direkten Hinweis geben kann, dass während der Veränderungen des Maßstabs Koordinaten in ℝ bzw. ℂ berechnet werden, die zwischen 2 ursprünglichen Pixeln liegen und dort zu abweichenden Ergebnissen bei der Berechnung führen, die dann zum kurzen Aufleuchten einzelner Pixel führen. Damit bleibt aber weiterhin ungeklärt, ob und welche Fraktale zu Cauchy-Folgen führen, die Bestandteil eines Banach- oder Hilbert-Raumes sind.

Jürg Nievergelt und Peter Schorn haben gezeigt, dass die Anwendung der Gleitkommaarithmetik allein durch Rundungsfehler zu einer vermeintlichen Ausbildung komplexer Strukturen führen kann, die den bildhaften Strukturen von Julia-Mengen ähnelt.

Weiterhin bliebe zu berücksichtigen, dass es im physikalischen Sinne gegenüber der Mathematik eine Begrenzung von kleinsten Raum-, Zeit-, Energieeinheiten gibt, die auch die bekannten makroskopischen physikalischen Gesetze begrenzen, die man im Beobachtungsfeld messen kann. Unterhalb der Planck-Länge treten laut Brian Greene turbulente Quantenfluktuationen auf, bei denen die herkömmlichen Gesetze von Raum (oben/unten/rechts/links) und Zeit (vorwärts/rückwärts/linear) aufgehoben sind. Als Konsequenz müsste man den Raum ℝ der reellen Zahlen bei Grenzwertbetrachtungen ebenfalls als veränderlich ansehen, was dazu führt, dass Metriken unterhalb der Planck-Grenze nicht mehr gültig sind. Somit ist auch bei Cauchy-Folgen in der "realen" Welt der Beobachtung zu erwarten, dass sie ihren Grenzwert niemals erreichen. Was die Auswirkungen auf die Möglichkeitsfelder betrifft, so könnte man aus buddhistischer Sicht folgern, dass es unterhalb der Planck-Grenzen zu geistigen, unvorhersehbaren und nicht messbaren Fluktuationen innerhalb des Dharmakaya kommt, deren Ausstrahlungen im Sambhogakaya beobachtbar werden und im Nirmanakaya als Wirkung sichtbar werden. Ob sich ein Regelwerk mit Schwingungen und Schwarmregeln ableiten lässt, das diese Fluktuationen "steuert" und somit noch außerhalb im Sinne von vor Auftreten der ersten 2 von Lama Anagarika Govinda beschriebenen 17 Schwingungen erfolgt, müsste weiter untersucht werden. Als Regelwerk kämen möglicherweise die 4 sogenannten Asava bzw. Zagpa (der Begriff ist nicht übersetzbar und wird im Deutschen meistens mit "Triebflüsse" oder "existentielle Triebkräfte" bezeichnet) in Betracht. Aus standardisierter buddhistischer Sicht ist es allerdings nicht möglich hier zu objektiven Aussagen zu kommen, da sich auf dieser Ebene alle subjekt- und objektbezogenen Aussagen in einem non-dualen Raum bereits aufgehoben haben.

Man könnte untersuchen, ob und welche Störgrößen bei den iterativen Julia-Funktionen zu "dauerhaft" konvergierenden Ergebnissen führen. In unserer als real empfundenen Welt wäre aber zu erwarten, dass spätestens mit der Ausdehnung des Universums ins Unendliche entsprechend der konformen zyklischen Kosmologie (CCC) nach Roger Penrose Raum und auch die Zeit verschwinden würden. Durch dieses Verschwinden entstünde eine Situation eines Vakuums, bei dem durch eine Vakuumfluktuation dann neue Welten mit Raum-/Zeitgefüge gebildet werden könnten. Ob sich aber eine derartige Interpretation aus den Prozessen mit höher-dimensionalen Julia-Funktionen einwandfrei modellieren ließe, erscheint fraglich und müsste falsifiziert werden.

Eine Iteration gegen unendlich sollte dann jedenfalls auch im mathematischen Modell ebenfalls zu divergierenden Werten führen. Ob bereits Unendlichkeitsbetrachtungen für Julia-Funktionen durchgeführt wurden, ist hier nicht bekannt.

Ergänzung vom 21.02.2024

Grenzwerte

Für die Berechnungen der Julia-Funktionen wurden Gleitkommazahlen sowie Gleitkommarechenregeln und deren Umsetzung in der Java Virtual Machine JVM angewandt. Auf der folgenden Seite wird versucht Hinweise auf die Gültigkeit von Berechnungsergebnissen zu erzielen.