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Die hier in Grafiken verwendeten Iterationsverfahren basieren auf dem von Michael F. Barnsley beschriebenen Fluchtzeitalgorithmus. Die Berechnung von Endergebnissen nach Vorgabe einer Anzahl von Iterationen führen dabei bei einer konstanten Störgröße c zu unterschiedlichen Ergebnisklassen, wobei sich bei einigen Julia-Funktionen bei der Berechnung unter den Bedingungen der Hausdorff-Metrik Mengen mit kontraktierenden Berechnungsergebnissen herauskristallisieren, deren Grenzwerte zu Fixpunkten führen, die auch als Attraktoren bezeichnet werden:

• 1. Bildung eines eindeutigen Attraktors im Innern der Julia-Fläche
• 2. Bildung alternierender, zyklischer Attraktoren bei bestimmten Störgrößen
• 3. Bildung von Seltsamen Attraktoren, die einen Orbit genau auf der Julia-Menge (also dem Rand) vollziehen
• 4. Fluchtverhalten in Richtung ∞ außerhalb der Julia-Menge mit Bildung eines repulsiven Fluchtpunkts bei ∞

Ralf Otte interpretiert die Bildung eines Attraktors (Typ 1) als das Erkennen als Folge einer Wahrnehmung bzw. eines Gedanken; Typ 2 als das Alternieren von Wahrnehmungen/Gedanken; Typ 3 als einen permanenten Fluss diskreter Zustände. Ausgehend von unbewussten Zuständen entspricht die Iteration einem rekursiven dynamischen Prozess, der bei der Konvergenz zu einem Attraktor als vorbewusster Zustand gedeutet wird. In Konkurrenz und Überlagerung mit anderen vorbewussten Zuständen (z.B. Erinnerungen) kann nach einer Wechselwirkung über die von Ralf Otte beschriebene Aufmerksamkeitsfunktion der Iterationsprozess zu einem bewussten mentalen Zustand kollabieren, bis schließlich neue Wahrnehmungen zu einem neuen Iterationsprozess führen. Michael F. Barnsley hat gezeigt, dass die Abbildung der Ergebnisse der Iterationen auf eine Riemannnsche Sphäre unter der Menge ℂ^ zu einem attraktiven Fixpunkt bei 0 (Südpol) führt und beim Fluchtverhalten bei ∞ zu einem repulsiven Fluchtpunkt am Nordpol. Übertragen auf eine Ebene entspricht diese Dynamik einer einfachen Möbiustransformation, bei der sich die Bildung der attraktiven Fixpunkte in Gestalt einer iterierenden Spirale vollzieht. Heinz-Otto Peitgen hat außerdem gezeigt, dass Iterierte Funktionensysteme nicht nur zu invarianten Punkten führen können, sondern statt dessen mehrere oder sogar unendlich viele Attraktoren besitzen können. Weiter unten werden einige Beispiele gezeigt.

Das von Ralf Otte definierte Modell der Bewusstwerdung, das ebenfalls auf einem dynamischen, selbstorganisierenden Iterierten Funktionensystem aufbaut, steht bisher nicht im Widerspruch zu dem schon mehrfach genannten Schwingungsprozess, der von Lama Anagarika Govinda beschrieben wurde, und auch nicht zu dem etwas gröberen Modell über den Gedankenprozess der 3 Nen von Katsuki Sekida, weswegen das Modell der 3 Nen zunächst kurz beschrieben wird, dessen Schwerpunkt auf der Modellierung des Gedankenpozesses liegt. Die 3-stufige Struktur der 3 Nen zeigt Ähnlichkeiten mit dem ebenfalls 3-stufigen Modell von Ralf Otte, wobei aber das Modell der 3 Nen nicht auf iterativen Berechnungen beruht.

Das Modell der 3 Nen entspricht im weitesten Sinne einem fortlaufenden, rekursiven Zustandssystem, bei dem permanent neue rückbezügliche Zustände mit 3 unterschiedlichen Qualitäten gebildet und vernetzt werden. Das endlos fortlaufende Zustandssystem entspricht dabei dem Graph einer endlosen fortlaufenden Baumstruktur mit rückbezüglichen Verbindungen, wobei jeder neue Zustandsknoten dem gerade in diesem Moment entstehenden Bewusstseinsmoment bzw. Wahrnehmungsmoment entspricht. Die folgende Aufstellung beschreibt in Kurzform die 3 verschiedenen Typen der 3 Nen sowie ihre möglichen Beziehungen untereinander:

(Die Grafiken zu den 3 Nen wurden übernommen aus Gedanken über Gedanken - Teil III)



Die Grundstruktur für die rückbezüglichen 3 Nen zeigt das folgende Bild, bei dem hier vereinfacht aber nur eine vernetzte Listenstruktur verdeutlicht wird; die möglichen Verbindungen zu älter zurückliegenden Einflüssen/Erinnerungen/Gedanken aus denen sich eine Baumstruktur ergibt, sind hier nicht dargestellt (in diesem Bild sind bei dem 1. und 2. Nen auf der rechten Seite rückbezügliche Verzweigungen des Baums lediglich angedeutet). Weitergehende Beispiele in Verbindung mit semantischen und emotionalen Inhalten findet man bei Katsuki Sekida. Er führt dort auch besondere Formationen der 3 Nen auf, aus denen sich pathologische Geisteszustände oder auch nonduales Erleben ableiten lassen.



Auch das von Lama Anagarika Govinda beschriebene Schwingungsmodell, das auf Beschreibungen von Buddhagosa aus dem 5. Jahrhundert beruht, lässt sich inhaltlich mit dem Modell der 3 Nen und auch mit dem Modell von Ralf Otte weitgehend zur Deckung bringen, wobei das Modell der 3 Nen von Katsuki Sekida hier schon sehr vereinfachend gegenüber dem von Lama Anagarika Govinda beschriebenen Schwingungsmodell erscheint. Die schon im Abschnitt "5. Simulationen" beschriebenen Schwingungen des Schwingungsmodells kann man vermutlich mit dem Iterationsprozess bei Julia-Funktionen gleichsetzen. Die dort beschriebenen 17 Schwingungen entsprechen dabei dem kleinstmöglichen Schwingungsprozess einer Wahrnehmung bis zur Bewusstwerdung des Selbst (komplexere Schwingungsmuster geben dann semantisch vergleichbare Inhalte wieder, wie sie auch von dem Modell der 3 Nen gebildet werden können). Lama Anagarika Govinda beschreibt Ausarbeitungen von Shwe Zan Aung, demzufolge eine Prozessabfolge von 4 Prozessen (vîthi) nach mehreren hunderttausend Wiederholungen dazu führen, dass aus der Betrachtung beispielsweise einer Rose, aus den bei dieser Prozessfolge entstehenden Teilbildern sich das Gesamtbild einer Rose im Geist ergibt. Ähnliches gilt auch für die Prozessabfolge beim Sprechen von Worten. Wegen der größeren Ähnlichkeit des Schwingungsmodells mit Iterierten Funktionensystemen, deren Attraktoren Julia-Mengen/-Flächen sind, werden im Folgenden einige Grafiken vorgestellt, aus denen sich eine Beziehung zwischen den Schwingungen und den Attraktoren konstruieren lassen sollte; eine schlüssige Verbindung zwischen dem Schwingungsmodell von Lama Anagarika Govinda und dem Modell von Ralf Otte zeigt sich dabei aber noch nicht.

Der Schwingungsprozess von Julia-Mengen/-Flächen als Möbiustransformation in der Ebene

Zunächst einige Beispiele, bei denen Attraktoren gebildet werden. Dabei wird die Störgröße c derart gewählt, dass als Ergebnis Julia-Mengen und -Flächen gebildet werden. Die Störgröße c wird in diesen Beispielen auch gleichzeitig als Startwert für die Berechnung des Attraktors verwendet. Grundsätzlich gilt, dass die gesamte innere Fläche der Julia-Funktion einem Attraktor entspricht. Bei den hier verwendeten Einzelberechnungen von Attraktoren werden die Iterationsschritte durch (transparente) Linien, Punkte, Symbole und Farben kenntlich gemacht.

Symbolik:

• Der jeweilige Startpunkt zur Berechnung des Attraktors wird weiß markiert
• Der Endpunkt der Berechnung wird rot markiert; das Ende der Berechnung erfolgt nach der letzten Iteration und bei ausuferndem Hausdorff-Abstand
• Zwischenergebnisse der einzelnen Iterationsschritte werden grau markiert
• Verbindungen zwischen Markierungen geben die Reihenfolge der Iterationsschritte als Trajektorie wieder

Zunächst werden Beispiele für verschiedene Attraktoren und Trajektorien gezeigt, bei denen noch kein Bezug auf die Zahl von Schwingungen wie von Lama Anagarika Govinda genommen wird.

Es wird darauf hingewiesen, dass die Berechnungen der Attraktoren, Trajektorien sowie deren grafische Darstellungen erst nachträglich in den Algorithmus zur Berechnung von Julia-Mengen integriert wurden, so dass Fehler derzeit nicht ausgeschlossen werden können.

Serie 1: Allgemeine Beispiele mit Identität zwischen Startwert und Störgröße

c=( -0.19, -0.64i )
Iteration 50
Wahrscheinlichkeitsdichte
Attraktor
Serie 1 Bild 1

c=( -0.19, -0.64i )
Iteration 500
Wahrscheinlichkeitsdichte
Attraktor
Serie 1 Bild 2

c=( -0.19, -0.64i )
Iteration 500
Wahrscheinlichkeitsdichte
Attraktor Maßstab 1:4.8
Serie 1 Bild 3

c=( -0.792, -0.15i )
Iteration 50
Wahrscheinlichkeitsdichte
alternierender Attraktor
Serie 1 Bild 4

c=( 0.32, -0.024i )
Iteration 50
Wahrscheinlichkeitsdichte
Attraktorlinie mit Fluchtpunkt
Serie 1 Bild 5

Bild 1 zeigt die Bildung einer Trajektorie in den Attraktor nach 50 Iterationen. Dabei zeigt sich eine um einen Mittelpunkt bestehende Schwingung der einzelnen Iterationsschritte mit abnehmender Distanz vom Mittelpunkt. Ein abschließender zentraler Mittelpunkt hat sich noch nicht gebildet (roter Endpunkt). Nach 500 Iterationen (Bild 2) erreicht der Hutchinson-Operator W eine weitere Annäherung an den Mittelpunkt (fast zentraler roter Endpunkt).

Bild 3 zeigt die Vergrößerung des zentralen Bereichs der Trajektorie. Der Endpunkt liegt strebt auf einen zentralen Punkt zu. Die Anordnung der Zwischenergebnisse aus den einzelnen Iterationsschritten (graue Punkte) lässt den Schluss zu, dass man die gesamte Julia-Menge bzw. Fläche in eine Schwingung versetzen kann, indem man die Störgröße c nach jedem Iterationsschritt auf das letzte Zwischenergebnis setzt: c_i+1=c_i

In den Bildern 1-3 zeigt sich, dass einige wenige Zwischenergebnisse der Iteration (graue Punkte) nicht jeweils eine Eingangs- und Ausgangslinie aufweisen, sondern anscheinend nur eine Verbindungslinie aufweisen. Hier wäre zu prüfen, ob Ein- und Ausgang auf einer Geraden liegen oder sogar zum Vorgängerpunkt zurück führen.

Bild 4 zeigt eine stark alternierende Trajektorie, die sich keinem zentralen Attraktorpunkt annähert. Auch hier wäre noch zu prüfen, welche Arten von Schwingungen entstehen, wenn man die Störgröße nach jedem Iterationsschritt auf das Vorgängerergebnis setzt: c_i+1=c_i

Bild 5 zeigt ansatzweise einen Orbit dicht an der Julia-Menge, der allerdings bereits nach wenigen Iterationen als Fluchtpunkt endet und somit einem Seltsamen Attraktor nur ansatzweise nahekommt. (Der rote Endpunkt liegt knapp außerhalb der umhüllenden Menge der Julia-Menge, so dass der Berechnungsalgorithmus hier abbricht).

Serie 2: Beispiele mit multiplen Startwerten

Bei den Bildern der Serie 2 wurden als Samples für die Berechnung von Trajektorien gitterförmig Startwerte angelegt, von denen aus die einzelnen Trajektorien in das Bild projiziert werden. In Abhängigkeit von der Darstellungsvariante können Endpunkte der Trajektorien (rot) ebenfalls angezeigt werden. Wegen der Dichte der Zwischenergebnisse werden keine grauen Markierungen mehr angezeigt und auch die exakten Startpositionen werden nicht hervorgehoben; es werden lediglich Trajektorien und ggf. die Endpunkte angezeigt. Die Endpunkte (rot) müssen bei einigen Einstellungen außerdem algorithmisch reduziert werden, damit nicht überladene Rasterflächen entstehen. Der Algorithmus reduziert aus optischen Gründen außerdem Endpunkte, die zu dicht ( < 3 Pixel ) am Startpunkt der Trajektorie liegen.

c=( -0.19, -0.64i )
Iteration 50
Wahrscheinlichkeitsdichte
Trajektorien 40401
Serie 2 Bild 1

c=( -0.19, -0.64i )
Iteration 50
Maßstab 1:9.6
Trajektorien 441
Serie 2 Bild 2

c=( -0.19, -0.64i )
Iteration 50
Maßstab 1:9.6
Trajektorien 167
Serie 2 Bild 3

c=( -4.832, -3.552i )
Iteration 50
Maßstab 1:0.25
Trajektorien 63001
Serie 2 Bild 4

c=( -4.832, -3.552i )
Iteration 50
Maßstab 1:0.25
Trajektorien 63001
Serie 2 Bild 5

Bild 1 enthält dieselbe Störgröße wie bei Bild 1 aus Serie 1. Bei 50 Iterationen und 40401 Trajektorien zeigt sich auch hier, dass ein Attraktor mit einem einzelnen Endzustand nicht existiert. Vielmehr wird ein Attraktorbassin im Innern der Julia-Fläche sichtbar und viele Fluchtpunkte außerhalb der Julia-Menge.

Bild 2 enthält eine Ausschnittsvergrößerung aus dem Attraktorbassin von Bild 1. Die sich ergebenden Muster von Endpunkten variieren allerdings bei unterschiedlichen Einstellungen im Hinblick auf die Zahl von Trajektorien und Vergrößerungen; hier gezeigt wird aber lediglich das gewählte Beispiel mit den genannten Einstellungen.

Bei Bild 3 wurde die Zahl der Trajektorien bei gleichem Maßstab und Ausschnitt wie bei Bild 2 auf 167 reduziert, wobei aber gleichzeitig nur Startwerte auf der realen Achse zugelassen wurden. Hierdurch wurde die Struktur der Trajektorien der realen Achse hervorgehoben und die Struktur der Endpunkte reduziert.

Bild 4 zeigt Trajektorien, die weitgehend in Richtung ∞ streben. Hier wurde eine Störgröße gewählt, bei der keine Julia-Menge mehr entsteht, und ein Maßstab gewählt, der einen Blick auf ein äußeres Gebiet zulässt. Bei dieser Einstellung gibt es hier keine Cauchy-Folgen mehr, die zu gefangenen Punkten innerhalb einer Julia-Menge führen.

In Bild 5 werden zusätzlich die Fluchtpunkte ausgegeben, die nicht sofort in Richtung unendlich weisen. Es zeigt sich, dass sich scheinbare Häufungspunkte bzw. ein repulsives Attraktorbassin auch außerhalb einer Julia-Fläche bilden können. Eine mögliche Bedeutung eines derartigen Häufungspunktes und derartiger Trajektorien im Hinblick auf Unbewusstes wäre zu klären.

c=( 0.32, -0.024i )
Iteration 4
Wahrscheinlichkeitsdichte
Trajektorien 251
Maßstab 1:2
Serie 2 Bild 6

c=( 0.32, -0.024i )
Iteration 4
Wahrscheinlichkeitsdichte
Trajektorien 63001
Maßstab 1:2
Serie 2 Bild 7

c=( 0.32, -0.024i )
Iteration 50
Wahrscheinlichkeitsdichte
Trajektorien 251
Maßstab 1:2
Serie 2 Bild 8

c=( 0.32, -0.024i )
Iteration 50
Wahrscheinlichkeitsdichte
Trajektorien 63001
Maßstab 1:2
Serie 2 Bild 9

Bild 5 aus Serie 1 (oben) zeigt als Folge der gewählten Störgöße eine Struktur der Julia-Menge, die lediglich Fatou-Staub aufweist. Daher werden hier noch ein paar Darstellungen dieser Struktur in Verbindung mit Trajektorien vorgenommen.

Bei Bild 6 wurden nur 4 Iterationen durchgeführt, die noch Wahrscheinlichkeitsdichten aufweisen, aus denen sich nach dem Modell vom Lama Anagarika Govinda Beobachtungen im virtuellen Beobachtungsraum ableiten lassen sollten. Dargestellt ist ausschließlich eine Reihe von Trajektorien, die auf der realen Achse beginnen. Die Endpunkte aller Tajektorien sind rot markiert. Die zentrale rote Linie stellt diejenigen dicht beieinander liegenden Endpunkte dar, die auf der Realachse gestartet wurden und sofort wieder terminieren. Trajektorien innerhalb der ε-Sphäre führen teilweise zu Endpunkten, die noch innerhalb der ε-Sphäre liegen. Der Versatz paralleler, senkrechter Linien mit undefinierten Werten lässt vermuten, dass die Ursache in der Beschränktheit der Gleitkommamenge G und ihren Rechenregeln liegt.

Bei Bild 7 wurden die Trajektorien auch für die imaginären Werte gebildet. Hierbei zeigt sich ein Attraktorbassin innerhalb der ε-Sphäre.
In Analogie zu den Phasen der Bewusstwerdung findet nach Lama Anagarika Govinda mit der 4. Schwingung die Gewahrwerdung beim Prozess der Bewusstwerdung statt.

Im Vergleich dazu werden bei den Bildern 8 und 9 Trajektorien mit 50 Iterationen gegenübergestellt. In Bild 8 kann man die zunehmende Ausbildung eines Seltsamen Attraktors als Abhängigkeit vom Startpunkt der Trajektorie erkennen. Bei Bild 9 sieht man, dass das Attraktorbassin den zentralen Bereich der ε-Sphäre verlassen hat. Einige Endpunkte der Trajektorien liegen aber dennoch innerhalb der ε-Sphäre, so dass man vermuten kann, dass hier Ergebnisse entstanden sind, die auf vorbewusste geistige Zustände gemäß der Interpretation von Ralf Otte hinweisen.
(Zur besseren Sichtbarkeit der Endpunkte der Trajektorien innerhalb der ε-Sphäre wurden die grauen Trajektorien teilweise stark gedimmt.)

Bei 4 Iterationen zeigen die Wahrscheinlichkeitsdichten in kleinen Gebieten Werte, die grundsätzlich eine Messung ermöglichen sollten. Diese Messbarkeit nimmt aber mit steigender Iterationszahl ab, wie schon in Abschnitt "7. Grenzwerte" gezeigt:



Der Verlauf der Trajektorien insgesamt lässt die Vermutung zu, dass ein Iterationsablauf bei veränderlicher Störgröße mit c_i+1=c_i sich ein selbstregulierendes, bisweilen schwingendes Systemverhalten zeigt, bei dem sich die Struktur der Julia-Menge in vielen Fällen selbst stabilisiert, solange die Ergebnisse der Iterationen einer Cauchy-Folge entsprechen.

Serie 3 - Schwarmverhalten?

Im Raum steht auch noch das Postulat, dass Gedanken und Gedankenfolgen, -ketten sowie der Denkprozess an sich durch sich selbstorganisierende Schwarmregeln, die sich nach Ansicht im Dzogchen auf Basis einer inhärenten sich selbst organisierenden Intelligenz bilden und ausdrücken. Um hier einen Schritt weiter zu kommen, macht es Sinn, die Trajektorien, die in den Bildern Strukturen aufweisen, auf mögliche Regeln zu untersuchen. Als Analogie zu diesen Trajektorien kann man das folgende Video über das herkömmliche Schwarmverhalten mit der Gradientenregel (nach Craig Reynolds) ansehen, bei dem Nachbarschaftsgruppen ebenfalls zu virtuellen Trajektorien führen, die den Trajektorien in den Bildern oben ähneln:

Schwarmtrajektorien

(0:31 min)

Das Video mit dem Schwarmverhalten und der Hervorhebung von Trajektorien ist ähnlich aufgebaut wie das Bewusstseinsmodell von Ralf Otte mit seinem Möglichkeitsfeld, der Übertragungsfunktion und dem virtuellen Beobachtungsfeld. Die kleinen roten Punkte im Video zeigen die scheinbar real vorhandenen Boids, die in unserer als real erscheinenden Umwelt einzelnen Schwarmmitgliedern (z.B. Fische) entsprechen. Der Prozess des Erkennens von Nachbarn, ihrer Bewegungsrichtung, der Abschätzung von Kollisionen, der Bewegungsannäherung auf einen Zielpunkt entspricht in Analogie der Übertragungsfunktion von Ralf Otte, bei der es zu einem Bewusstwerdungsprozess kommt. Die Entscheidung über eine einzuschlagende Zielrichtung erfolgt aber unter der Kontrolle der Schwarmregeln, die man als inhärent im Möglichkeitsfeld ansehen kann, wobei aus den potenziellen Bewegungsmöglichkeiten diejenige ausgewählt wird, die am besten zu den Schwarmregeln passt. Somit entspräche dieser Entscheidungsprozess einem Vorgang innerhalb des Möglichkeitsfeldes. Auch beim Menschen kann man einen vergleichbaren Entscheidungsprozess über die Libet-Experimente nachweisen (mit all den daraus sich ergebenden philosophischen Konsequenzen).

Ein wesentlicher Unterschied zu dem Modell von Ralf Otte besteht darin, dass die Berechnungen hier nicht mehr auf der Menge ℂ der komplexen Zahlen und ihrer hyperkomplexen Algebra beruhen, die bei der Umsetzung mit Software zu Einschränkungen durch Anwendung von Gleitkommaregeln und der Menge der Gleitkommazahlen G führen, sondern hier in dem Schwarmmodell auf der Menge der ganzen Zahlen ℤ in Verbindung mit einer erweiterten Manhattanmetrik beruhen, die auch diagonale Bewegungen in einem Step zulässt. Als Konsequenz ergibt sich bei dem Schwarmmodell die Simulation in einer 2-dimensionalen Ebene (, die man mit erhöhtem Softwareaufwand in eine 3-dimensionale Simulation überführen könnte,) gegenüber dem Modell mit komplexen Zahlen, das sich in der 1. Dimension auf den Realanteil bezieht und in der 2. Dimension auf Wahrscheinlichkeiten bezieht. Weil man aber davon ausgehen kann, das auch bei Erhöhung von Dimensionen die Grundstruktur von Erscheinungsbildern grundsätzlich Gemeinsamkeiten aufweist, lassen sich auch Vergleiche zwischen diesen Modellen ziehen.

Das Schwarmmodell zeigt den Wechsel zwischen dem Möglichkeitsfeld und einer bidirektionalen Übertragungsfunktion, bei der die alten und neuen Positionen der Boids zwischen dem virtuellen Beobachtungsfeld und dem Möglichkeitsfeld hin und her gespiegelt werden. Die Wahrscheinlichkeiten aus dem Möglichkeitsfeld und ihre Selektion als Entscheidung ergeben sich dabei aber aus den Schwarmregeln, die in der Schwarmsimulation algorithmisch vollzogen werden.

Für den gesamten Prozess des Schwarmverhaltens besteht aus Sicht eines jeden Boids auch eine Beziehung zu den im Abschnitt "5. Simulationen" beschriebenen Skandha:

• 1. Skandha: Direktes Sehen von externen Objekten im Gebiet des Sichtfeldes
• 2. Skandha: Wahrnehmen von Entfernungen dieser Objekte und Bildung eines Gefühlslevels (z.B. zu starke Annäherung oder zu starke Distanz)
• 3. Skandha: Erkennen und Identifizieren der Objekte (hier als Nachbarn, in einem erweiterten Modell zusätzlich als Prädatoren)
• 4. Skandha: Konstruieren einer zukünftigen Bewegungsrichtung nach Einschätzung der Gesamtsituation (Gradientenbildung)
• Dharmakaya: Vorgabe einer vorrangigen Bewegungsentscheidung auf Basis der inhärenten Schwarmregeln entsprechend der Libet-Experimente.

Lediglich bei Lebewesen mit einer Reflexionsfähigkeit des eigenen Bewusstseins und der reflexiven Erkenntnis aus einer Selbstbeobachtung (3. Nen im Modell von Katsuki Sekida) kann unter Umständen die Entscheidung im Unbewussten kurz vor der sich daraus ergebenden Handlungsausführung unterbrochen werden, so dass ein neuer Entscheidungsprozess oder eine alternative intuitive Entscheidung zur Ausführung gebracht werden kann. Es ist davon auszugehen, dass diese Entscheidung zeitlich bereits vor Eintreten des 4. Skandha im Unbewussten geschieht. Das Wirken der Skandha 1-4 entspräche damit den Vorgängen in der Übertragungsfunktion und im virtuellen Beobachtungsfeld und denjenigen Schwarmregeln, die mit Wahrnehmung und Erkenntnis (also dem Intellekt im Sinne eines reflexiven Erkennens) zu tun haben; die inhärente Entscheidungsfindung auf Basis grundlegender Schwarmregeln im Dharmakaya entspräche dann den nicht-energetischen Wellenfunktionen im Möglichkeitsfeld.

Laut Chögyam Trungpa besteht ein reger Wechsel zwischen den 3 Kayas in beide Richtungen. Übertragen auf das Modell von Ralf Otte sollte daher auch dort ein bidirektionaler Wechsel mittels der Übertragungsfunktion erfolgen. Im Dzogchen geht man letztendlich (nach James Low oder Tenzin Wangyal Rinpoche) davon aus, dass das Modell der 3 Kayas seinen wesentlichen Sinn darin erfährt, Meditierenden die Qualitäten der 3 Kayas erfahren zu lassen, um daran anschließend zu erkennen, dass die 3 Kayas ein Konzept innerhalb eines einzigen "Raumes" darstellen, dem Dharmadhatu, aus dem alle Erscheinungen hervorgehen.

Um in einer ersten Annäherung zu sehen, ob es Ähnlichkeiten oder sogar Homologien zwischen Schwarmintelligenz und den anderen Modellen gibt, werden in den folgenden Beispielen die sich ergebenden Unterschiede innerhalb von Schwärmen gezeigt, die durch Variation der Schwarmregeln zu unterschiedlichen Schwarmstrukturen führen und auch den Einfluss der Trajektorien durch die Gradientenregel erkennen lassen. Die Schwarmregeln selbst (z.B. Kohäsion, Separation oder Alignment nach Craig Reynolds) sind hier allerdings nicht weiter beschrieben.

Symbolik:

• blaues Quadrat: Schwerpunkt der Nachbarschaftsgruppe mit vollständiger Zahl von Nachbarn
• graues Quadrat: wie vorher, aber mit unvollständiger Zahl von Nachbarn
• blauer oder grauer Vektor: vom Boid ermittelte virtuelle Gradientenrichtung der Nachbarschaftsgruppe (entsprechend dem 4. Skandha)
• Vektorspitze: vom Boid ermittelte virtuelle Zielposition der Nachbarschaftsgruppe (ebenfalls 4. Skandha)
• rot: Boid

Boids: 1500
Nachbarn: 15
Sichtfeld: 90 Grad
Gradientenregel
Serie 3 Bild 1

Boids: 1500
Nachbarn: 15
Sichtfeld: 360 Grad
Gradientenregel
Serie 3 Bild 2

Boids: 1500
Nachbarn: 15
Sichtfeld: 90 Grad
Schwerpunktregel
Serie 3 Bild 3

Boids: 1500
Nachbarn: 6
Sichtfeld: 90 Grad
Schwerpunktregel
Serie 3 Bild 4

Boids: 1500
Nachbarn: 6
Sichtfeld: 360 Grad
Schwerpunktregel
Serie 3 Bild 5

Bild 1 zeigt die Trajektorien auf Basis der Gradientenregel bei einem Sichtfeld der Boids von 90 Grad, wie man es bei vielen Tierschwärmen vorfinden kann. Das Bild zeigt eine Aufteilung eines Schwarms in 2 Teilschwärme.

Bei Bild 2 wird gegenüber Bild 1 der Einfluss des Sichtfeldes auf die Schwarmstruktur bzw. das Schwarmverhalten gezeigt (wie beispielsweise bei einigen Fischarten). Hier ist der Schwarmzusammenhalt größer als bei einem kleineren Sichtfeld.

Bei Bild 3 wird an Stelle der Gradientenregel die Schwerpunktregel bei einem Sichtfeld von 90 Grad gezeigt, die zu vollkommen anderen Schwarmstrukturen führt, die man eher bei Insekten vorfinden kann.

Bei Bild 4 wird ebenfalls die einfachere Schwerpunktregel verwendet aber bei Nachbarschaftsbeziehungen mit nur 6 Nachbarn, wie man sie häufiger in Tierschwärmen vorfindet.

Hier in Bild 5 hat der Winkel des Sichtfeldes erheblich größere Auswirkungen auf die Schwarmstruktur. Es bilden sich viele kleine Teilschwärme, da nun die Schwerpunkte eng beieinander liegen und keine Trajektorien gebildet werden ähnlich wie bei Feuerfliegen (Photinus Carolinus). (Die Feuerfliegen sind allerdings in der Lage sich zusätzlich über periodische Leuchtsignale mittels Biolumineszenz zu synchronisieren, was ihnen erlaubt bei Dunkelheit Schwarmregeln zu befolgen.)

Boids: 250
Nachbarn: 7
Sichtfeld: 90 Grad
Schwerpunktregel
Serie 3 Bild 6

Boids: 250
Nachbarn: 15
Sichtfeld: 90 Grad
Schwerpunktregel
Serie 3 Bild 7

Boids: 250
Nachbarn: 7
Sichtfeld: 90 Grad
Gradientenregel
Serie 3 Bild 8

Boids: 250
Nachbarn: 7
Sichtfeld: 360 Grad
Gradientenregel
Serie 3 Bild 9

Die Anzahl vorhandener Boids sowie die Anzahl der Nachbarn, aus denen sich eine Nachbarschaftsgruppe zusammensetzt, bestimmen ebenfalls die Struktur von Schwärmen (Bild 6 und 7).

DIe Gegenüberstellung bei kleinerer Schwarmgröße mit Gradientenregel und unterschiedlichem Sichtfeld zeigen die Bilder 8 und 9. Hier sind die Unterschiede ebenfalls erkennbar wie bei den Beispielen von Bild 1 und 2. Das größere Sichtfeld (Bild 9) führt hier ebenfalls zu einer höheren Dynamik im Schwarm ähnlich wie bei Bild 2. Bei Bild 9 bildet sich aus 2 Teilschwärmen ein gemeinsamer Schwarm. Bild 8 zeigt eine (vorübergehende) Konzentration auf einen (vorübergehenden) gemeinsamen Schwarmschwerpunkt, der von den Boids aber bei den hier vorhandenen Schwarmregeln selbst nicht erkannt werden kann. Als Folge einer Mindestabstandsregel wird sich der gemeinsame Schwerpunkt in Kürze wieder auflösen.

Weitere Dynamisierungen, die in diesen Grafiken aber nicht dargestellt sind, werden sichtbar, wenn man eine variable Geschwindigkeitsregel für die Boids zulässt; die Grundprinzipien der Schwarmbildung bleiben dabei aber weitgehend unverändert.


Im Vergleich zu den grafischen Darstellungen mit den Trajektorien bei Julia-Funktionen ergeben sich größere (optische) Übereinstimmungen bei Schwarmregeln, die die Gradientenregel verwenden. Zu untersuchen wäre, welche Analogien zwischen der Auswahl einer Entscheidung vor Beginn der Iteration - also vor dem ersten sich ereignenden Startwert der Julia-Funktion auf Basis von Wahrscheinlichkeitswerten - und der Anwendung einer Schwarmregel inkl. inhärenter vorrangiger Entscheidung bestehen. Im Schwingungsmodell von Lama Anagarika Govinda entspräche das möglichen Vorgängen vor Beginn der ersten Schwingung. Im Modell von Katsuki Sekida würde die spontane Entscheidung im Unbewussten ohne weitere Untergliederung unter dem 1. Nen subsumiert.

Der größte Unterschied zwischen den Darstellungen von Wahrscheinlichkeitsdichten mit ihren Attraktoren und Trajektorien im Möglichkeitsfeld und den Schwarmbildern besteht in der Verwendung der zugrunde liegenden Zahlenmengen: dort ℂ, hier ℤ X ℤ und den fehlenden Wahrscheinlichkeitswerten im Schwarmmodell. Die Situation ist vergleichbar mit der im Abschnitt "6. Spiegelung" beschriebenen realen Achse im Beobachtungsfeld nach Anwendung eines künstlichen neuronalen Netzes auf die im Wahrscheinlichkeitsfeld vorliegenden Werte. Somit kann man die Schwarmbilder als Bestandteil einer Spiegelung sehen, wobei aber die Übertragungsfunktion bisher unbekannt ist. Allerdings verwendet die Simulation von Schwärmen ebenfalls Wahrscheinlichkeiten auf ihrer Ebene des Dharmakaya und auch auf der Ebene der Skandha, die dem virtuellen Beobachtungsfeld entsprächen.

Die hier aufgeführten Analogien stellen allerdings lediglich einen Hinweis dar, dass Iterierte Funktionssysteme mit Regeln der Schwarmintelligenz übereinstimmen könnten, wobei bislang unklar bleibt, wie Schwarmregeln aussehen müssten, um Julia-Fraktalen zu entsprechen, und umgekehrt, wie Julia-Funktionen oder andere Iterierte Funktionensysteme Schwarmstrukturen abbilden könnten. Bei beiden Vorgehensweisen handelt es sich um reduktionistische Modelle, die nicht der Wirklichkeit entsprechen, sondern nur versuchen einen Hinweis auf Prozesse in der Natur zu geben; etwa in dem Sinne, wie ein Wegweiser, der nicht das Ziel darstellt, sondern nur einen Hinweis gibt, wo das Ziel möglicherweise gefunden werden kann. Nach Ansicht des Dzogchen ist eine Beschreibung niemals in der Lage auch das Ziel zu sein, sondern jede Beschreibung, jedes Gedankenkonstrukt, jedes Konzept stellt immer nur einen Wegweiser dar.

Einen Hinweis, wie Nachbarschaftsbeziehungen bzw. Schwarmregeln auf Ebene von Möglichkeitsfeldern aussehen könnten, kann man eventuell aus Interpretationen von David Bohm mit der von ihm beschriebenen impliziten Ordnung ableiten, die auch verträglich mit den Aussagen des Dzogchen ist.

Verbindung zwischen Nen und Möglichkeitsfeldern

Eine Angleichung zwischen dem Modell von Ralf Otte und den Modellen der 3 Nen oder dem Schwingungsmodell von Lama Anagarika Govinda im Hinblick auf Gedankenprozesse ist möglicherweise noch schwieriger.

Der Fluss der Gedanken, der sich durch die 3 Nen abbilden lässt, wird im Modell von Ralf Otte nicht direkt sichtbar, zumal hier intensiv der Wechsel zwischen Möglichkeitsfeld und Beobachtungsfeld über die Übertragungsfunktion das Erkennen des Flusses erschwert. Katsuki Sekida hat aber auch eine spezielle Folge von Nen beschrieben, bei der lediglich eine Kette der 1. Nen auftritt. Hierbei handelt es sich ausschließlich um nicht-konzeptuelle Gedanken, die unbewusst ablaufen. Das gezielte Ausschalten des 2. und 3. Nen ist dabei nur erfahrenen Meditierenden möglich. Die unbewusst entstehenden Gedanken sind unabhängig vom konzeptuellen Ich. Nach Chögyam Trungpa sind sie Bestandteil einer eigenen selbst-existierenden Intelligenz, aus der auf Basis einer Art bidirektionaler Verbindung (Übertragungsfunktion) zwischen Zufall im Sinne einer Wahrscheinlichkeit (Möglichkeitsfeld) und einem freien Willen Gedanken (virtuelles Beobachtungsfeld) spontan entstehen. Er sieht den Grund für diese Art des Denkens in einer bestimmten, selbst-existierenden Intelligenz, die mit der Gesamtheit in Verbindung steht, die präziser ist, die nicht verbal ist. Diese Form unbewusster Gedanken und den damit verbundenen Entscheidungen entspricht dabei dem Entscheidungsvorgang bei den Libet-Experimenten, die zeitlich vor einer konzeptuellen Entscheidung eines scheinbaren, konzeptuellen Ich entstehen.

Diese Kette der 1. Nen lässt sich durch die folgende Grafik veranschaulichen:



Vielleicht lässt sich für diese einfacheren Gedankenketten leichter ein Abbild im Modell von Ralf Otte finden. Allerdings bleibt bei der Kette der 1. Nen offen, was innerhalb einer jeden Phase der Gedankenkette passiert. Die Kette der 1. Nen erscheint aber sehr ähnlich wie der Ablauf einzelner Trajektorien, die zur Ausbildung von Attraktoren innerhalb von Julia-Mengen führen. Vergleiche hierzu die Bilder 1-3 aus Serie 1 oben.

c₀=( -0.216, 0.704i )
Iteration 50
Wahrscheinlichkeitsdichte
1 Trajektorie
Serie 4 Bild 1

c₀=( ~ -0.1906, ~ 0.7033i )
Iteration 50 - 52
Wahrscheinlichkeitsdichte
1 Trajektorie
Serie 4 Bild 2-4

c₃=( -0.216 , 0.704i )
c₄=( -0.2413, 0.7268i )
Iteration 3 - 4 bzw. 16
Wahrscheinlichkeitsdichte
1 Trajektorie
Serie 4 Bild 5-8

Bild 1 (Serie 4) zeigt den Startpunkt (weiß) und den Endpunkt (rot) einer Iteration einer Julia-Funktion mit stärker strukturierten Flächen.

Bei den Bildern 2-4 wurde als neue Störgröße c der Wert der 50. Iteration von Bild 1 angesetzt (c_i+1=c_i) und daran anschließend erneut 50 Iterationen ausgeführt. Es zeigt sich eine selbst gesteuerte Konsolidierung der Trajektorie, die gleichzeitig mit einer Harmonisierung der Julia-Fläche einhergeht, bei der sowohl die Verästelungen in der Struktur reduziert werden als auch die Wahrscheinlichkeitsdichten erhöht werden. Erkennbar ist dies an der einfacheren Struktur der Trajektorie und am Unterschied der Farbgebung innerhalb der teilweise rot gefärbten Julia-Fläche in Bild 1 gegenüber einer einheitlicheren, dunkleren Färbung in den Bildern 2-4.

Die Bilder 2-4 zeigen außerdem alternierende Endpunkte der Trajektorie, die von Ralf Otte als alternierende Wahrnehmungen gedeutet werden.

In Bild 5 wird der Beginn der Trajektorie nach der 3. Iteration gezeigt. Nach Anagarika Govinda beginnt erst nach dieser Schwingung die bewusst werdende Wahrnehmungsphase des 2. und 3. Nen. Im daran anschließenden Bild 6 wird für die 4. Iteration der aus der 3. Iteration berechnete Endzustand der Trajektorie als neue Störgröße verwendet. Dieser Prozess für c mit (c_i+1=c_i) müsste eigentlich auch bei der Berechnung des Attraktors wie bei Bild 1 mit 50 Iterationen durchgeführt werden, um den Konsolidierungsprozess genauer verfolgen zu können. Ob die Resultate dabei signifikant von der Trajektorie aus Bild 1 abweichen, wurde hier (noch) nicht untersucht. Das divergierende sich selbst organisierende Verhalten des Attraktors zeigt sich in den Bildern 7 und 8. Während eine direkte 16-fache Iteration bei Bild 7 mit unveränderlicher Störgröße c ein stabiles Ergebnis des Attraktors innerhalb der Julia-Fläche erzeugt, wird nach einer Übernahme der Störgröße c wie bei Bild 4 bei ebenfalls 16-facher Iteration ein repulsives Verhalten erzeugt. Das Auftreten eines repulsiven Endpunkts bei der 16. Iteration (bzw. hier bereits ab der 8. Iteration) würde nach dem Modell von Lama Anagarika Govinda bedeuten, dass eine Wahrnehmung erkannt und reflexiv-bewusst geworden ist, dass diese Wahrnehmung aber nicht zu einer vollständig selbst-reflexiven Empfindung geführt hat. Das wäre beispielsweise vergleichbar mit der Wahrnehmung eines Säugetieres.

Bisher nicht durchgeführt wurde eine Untersuchung, welche Ergebnisse im Regelfall entstehen, wenn man immer bei jedem Iterationsschritt c auf (c_i+1 := c_i) setzt, was bei einem sich selbst-organisierenden System zu erwarten wäre.

Generell muss aber gesagt werden, dass nicht klar ist, ob die Zahl der Schwingungen mit der Zahl der Iterationen übereinstimmt. Hier sind noch viele ungeklärte Annahmen im Spiel. Auch das Verhältnis zwischen den einzelnen Phasen in der Kette des 1. Nen und der Anzahl von Schwingungen ist ungeklärt wie auch die Auswirkungen auf das Iterierte Funktionensystem bei einem Wechsel von einem 1. Nen zum nächsten 1. Nen. Auch wie Schwarmregeln aussehen könnten, die der selbst-existierenden Intelligenz entsprechen, ist bisher vollkommen unbekannt und nach buddhistischer Auffassung auch nicht bestimmbar.